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Matematica -> Problema dos Triangulos


saramgsilva
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bem agora um problema mais dificil.... mas muito giro e com 1 solução muito facil....nao compliquem  😄

Se cada lado do triangulo na figura 1 medir 1cm, entao o triangulo tem um perımetro igual a 3 cm.

Supoe que se continuava o padrao apresentado no diagrama ate desenhar a figura 5.

http://img303.imageshack.us/img303/9866/triang5mi.png

Qual e a soma dos perımetros de todos os triangulos brancos existentes nessa figura 5?

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?

e é que está mesmo!!mas ja agora, o ppl que tente fazer pra saber como se obtem aquele valor  😄

Olha boa 🙂 não é dificil 😄 um belo esquema simplifica as coisas 😛

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Bom, vendo a figura é  claro que:

1. por cada novo trinagulo preto introduzido, 3 brancos são criados, para cada branco existente

    portanto no numero de triangulos brancos aumenta segundo: 3^(n) para n=0,1,2,3,4,...

2. cada vez que um triangulo é cortado o lado (L) passa a metade

    logo L diminui segundo: L/(2^(n)) para n=0,1,2,3,4,...

Portanto para n=4:

Nº T's=3^4=81

L=1/2^4 cm = 1/16 cm

A soma dos perimetros todos é igual a

81*3*1/16 cm = 243/16 cm ~=15.2

E se continuarmos a dividir indefinidamente seguiria até infinito.

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Fácil...

Como já vimos, no final temos 81 triangulos com 1/16 de lado, logo...

BASE = 1/16

ALTURA = raiz((1/16)^2 - ((1/16)/2)^2) = raiz(3)/32 (pelo teorema de pitagoras com hipotenusa = 1/16, cateto a = (1/16)/2, cateto b = ?)

Area do triangulo = (BASE * ALTURA)/2 = raiz(3)/1024

Area total = 81 * Area do triangulo ~= 0.137

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Essa é que é a parte engraçada, como L tende para zero, a área também tende para zero.

Ok, mas então o perimetro não devia tender também para zero?

A soma dos perimetros, se virem bem é dada por:

S=3^(n+1)/2^n

3^(n+1) vai ter sempre valores maiores que 2^n e cresce mais rápido, por isso S tende para infinito

experimentem no excel dar valores de n e representar graficamente.

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Parece estranho mas se pensares bem não é assim tão assustador.

As áreas diminuem porque tás lá a meter triangulos pretos, logo roubas espaço aos brancos -> a área diminui

Os perimetros aumentam porque quando metes um triangulo preto divides o triangulo anterior, o perimetro anterior mantem-se e ainda ficas com mais 1 a 3 lados (são mais pequenos mas são sempre a somar...) -> o perímetro aumenta

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