um duvida de geometria afim

[pedrotuga]

Ok, duvido que alguem saiba isto mas vale sempre a pena tentar.

Dada uma transformação

R^2 - > R^2

t(x)=A.x+b

Como é que verifico se esta é uma transformação afim. Ou por outras palavras: a que condições têm A e b que obedecer para t(x) ser uma transformação afim?

[Rui Carlos]

assim à primeira vista só precisam de ser valores reais...

aliás, penso que a definição de função (que penso que é a mesma coisa que transformação) afim é precisamente isso:

f: Rⁿ -> Rⁿ

f(x) = A x + b com A pertencente a M®_nxn

[José Oliveira]

Para isso faziam-me falta os apontamentos, já cheios de pó de Álgebra linear ou de Análise numérica 😉

Normalmente nestas dúvidas costumo ver o site Wolfram (os tipos que fizeram o mathematica), embora por vezes as definições sejam puramente matemáticas, sem fornecer critérios rápidos de verificação.

Fiz uma pesquisa e encontrei esta página onde diz

Analytically, affine transformations are represented in the matrix form f(x) = Ax + b, where the determinant det(A) of a square matrix A is not 0

, ou seja parece que se o teu b for 0 será um caso particular (transformação linear), mas b pode ser qualquer, o det(A) é que não pode ser 0.

Posso ser curioso ao ponto de saber porque precisas disso? Trabalhos escolares? Comparação/transformação gráfica de imagens? Algoritmos de remodelação óssea?  🙂

[pedrotuga]

Para isso faziam-me falta os apontamentos, já cheios de pó de Álgebra linear ou de Análise numérica 🙂

A minha sebenta de algebra 😉 emprestei-a a um amigo de um amigo nunca mais a vi 🙂 curiosamente é a sabenta de todas as que tive, que tinha mais interesse em guardar...

Normalmente nestas dúvidas costumo ver o site Wolfram (os tipos que fizeram o mathematica), embora por vezes as definições sejam puramente matemáticas, sem fornecer critérios rápidos de verificação.

tambem lá costumo ir, mas foi exactamente esse o problema... não forneceram critérios rápidos de verificação e eu fiquei enrascado.

Fiz uma pesquisa e encontrei esta página onde diz

Analytically, affine transformations are represented in the matrix form f(x) = Ax + b, where the determinant det(A) of a square matrix A is not 0

, ou seja parece que se o teu b for 0 será um caso particular (transformação linear), mas b pode ser qualquer, o det(A) é que não pode ser 0.

epá... és o meu salvador! finalmente a informação que necessitava... determinante de A diferente de zero!!!!

xiça.... em todas as definições que vi, ficavam-se pela formula algébrica. nenhuma dizia isso... valeu a pena perguntar aqui.

🙂

tal como o rui carlos disse, a fórmula que eu inicialmente escrevi é a que define transformação afim, mas eu fiquei descolhoado quando vi um exercício com várias transformações, todas com esse mesmo formado e com o seguinte enunciado:

"quais das seguintes transformações são afins?"

tipo.... não são todas???... agora já descobrimos o ponto! 🙂

Eu já sabia bem o que era em que caso corresponde a uma transformação euclideana (translação ou rotação), alargamento de escala, deformação etc etc agora estava um pouco intrigado com o paradoxo de "entre as seguintes transformações afins diga quais são afins"

Posso ser curioso ao ponto de saber porque precisas disso? Trabalhos escolares? Comparação/transformação gráfica de imagens? Algoritmos de remodelação óssea?  🙂

Na boa. Estou a uma cadeira de acabar o curso. Como a cadeira que me falta é opcional, dei uma olhadela nas opções que podia escolher e cheguei à conclusão que o melhor seria mesmo uma matemática de outro curso. Desde muido que tenho uma paixão pela matemática e despacho com muito mais facilidade uma matemática do que uma cadeira com pilhas teoria tipo calhamaço para empinar.

Esta cadeira é de um curso que se chama tecnologias de informação visual. Os gajos usam isto para reconstrução de modelos 3d a partir de imagens obtidas por multi-camaras. Ou para fazer montagens dinâmicas em filmes com câmaras em movimento. ou para obter diferentes vistas a partir de uma fotografia em prespectiva, etc etc

no meu caso... estou a estudar para o exame de forma completamente autodidata... este exercicio estava nas folhas de exercicios e fiquei assim a olhar p ele... "mas que raio"

Até agora resolvi cerca de um terço dos exercicios utilizando apenas os meus conhecimentos de algebra e de cálculo. Mas até aqui tem sido tudo com coordenadas cartesianas... os próximos exercícios metem coordenadas homogéneas... coisa que eu só descobri que existe quando comecei a estudar para esta cadeira.