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HQuintas

Calcular ponto interseção entre 2 rectas

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HappyHippyHippo    1139
HappyHippyHippo

se as rectas são coplanares, então as rectas terão comente um ponto equivalente ou são paralelas.

se ignorares o último caso, então basta calcular quando os valores de dos eixos são equivalemntes.

toma como exemplo a equação de duas rectas em |R2:

y1 = m1*x1 + b1
y2 = m2*x2 + b2

no entanto, se sabes que são coplanares (e não são paralelas, m1 != m2), então existe um e só um ponto {x, y} tal que:

y = m1*x + b1 <=> y = m2*x + b2

isto porque sabes que a recta se cruza somente nesse ponto que queres saber.

agora basta resolver :

   m1*x + b1 = m2*x + b2
=> m1*x - m2*x = b2 - b1
=> (m1 - m2) * x = b2 - b1
=> x = (b2 - b1) / (m1 - m2)

agora que sabes "x", substitui em qualquer das primeiras equações e terás o valor de "y"

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car4321    261
car4321

Sim sao coplanres e concorrentes

Simplesmente, podes fazer um sistema com as duas equações. Depois resolves, e tens o s e o y, que são as coordenadas do ponto de intersecção.

Se fôr no espaço, o sistema vai ter 4 equações.

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Warrior    68
Warrior

Dado que o HQuintas não especificou se o problema era em 2 dimensões, esta ideia também se aplica a 3 ou mais dimensões mas terás mais equações para resolver.

Aqui dependerá da forma como a recta foi definida, se tens as suas equações reduzidas, vectoriais, paramétricas, etc.

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car4321    261
car4321

Escreves a equação reduzida de cada recta (a partir dos dois pontos que definem cada recta, obtens o vector director, nestes casos, AB=B-A e CD=D-C).

Por exemplo, na recta AB, o vector é AB=B-A=(20,-30), logo o declive é -30/20=-3/2.

A equação será y=-3/2x+b.

o valor de b é obtido substituindo A ou B na equação.

Depois, com as duas equações das rectas, resolve o sistema, e está resolvido o problema.

Andas em que ano?

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HQuintas    0
HQuintas

No ano 2013. (a sério... já a mais de 20 anos que estudei isto)

Então tenho as rectas R1=C,D e R2=A,B

y=mx+b

(m->declive)

R1

m=B-A
m= By-Ay/Bx-Ax

m=-3/2

Obtenho y=-3/2x+b

Calcular b (ordenada na origem)

é substituir y por qualquer um dos pontos A ou B, por exemplo

substitui por A(x,y), neste caso x=10 e y=50

50=-3/2*10+b
50=-15+b
b=65

R2

y=b

Até aqui penso que está correcto...

Agora tenho que igualar as 2 equações?

y=b <=> y=-3/2x+b

:confused:

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car4321    261
car4321

Sistema com as duas equações

Nota: quando perguntei em que ano andavas, referia-me ao ano escolar, para saber como explicar...

Editado por car4321

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HQuintas    0
HQuintas

Os cálculos até aqui estão correctos ?

car4321

Nota: Eu entendi, só estava brincando.

(tenho o 12º ano)

Editado por HQuintas

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car4321    261
car4321

sedo a segunda equação y=30, agora crias um sistema de equações.

Uma maneira de continuar é isolar o y nas duas equações e igualar os segundos membros:

y=....

y=...

equivale a

...=...

Resolves e sabes o x

depois substituis o x numa das equações e obténs o y

Editado por car4321

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HQuintas    0
HQuintas

HappyHippyHippo ao incio não estava a percerber, faltava-me as bases (não sabia que b era aquele). Tinha que aprofundar mais, para lá chegar.

E com ajuda de todos consegui entender, até é mais fácil do que estava a pensar.

Obrigado a todos, :thumbsup:

Editado por HQuintas

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