Área de um trapézio

[jviana]

Boas, estava a resolver uns exercícios de matemática, e encontrei um que não consegui resolver, por isso resolvi pedir-vos ajuda.

http://img850.imageshack.us/img850/3328/91272396.png

Condições:

-Ponto E faz parte do segmento de reta AB

-Segmemto AE = 1/3 de AB

-EB = DC

-Área do trapézio = 20 cm3

A pergunta é qual é a área da parte a cinzento.

Espero que me possam ajudar e desde já obrigado.

[HappyHippyHippo]

o primeiro passo a ter em conta é :

- Area(aed) = (Base(aed) * Alt(aed)) / 2
- Area(ebc) = (Base(ebc) * Alt(ebc)) / 2
- Area(ebc) = Area(dec)
- Alt(aed) = Alt(ebc)

no entanto, como AE é 1/3 de AB, então EB é 2*AE (<--- isto é fundamental !!!)

isto porque AE = Base(aed) e EB = Base(ebc)

aplicando isto, tens =>

Area(ebc) = (2 * Base(aed) * Alt(ebc)) / 2 <=>
Area(ebc) = 2 * (Base(aed) * Alt(ebc)) / 2 <=>
Area(ebc) = 2 * Area(aed)

a área total do trapézio é :

Area(aed) + Area(ebc) + Area(dec) = 20 <=>
Area(aed) + 2*Area(aed) + 2*Area(aed) = 20 <=>
5*Area(aed) = 20 <=>
Area(aed) = 20/5 <=>
Area(aed) = 4

como já foi dito acima :

Area(ebc) = 2 * Area(aed) = 8 = Area(dec)

fim : Area(dec) = 8

Edited April 7, 2013 at 09:49 PM by HappyHippyHippo

[jviana]

Muito obrigado, mesmo 🙂

Já tinha conseguido resolver, tal como fizeste, eu estava a tentar encontrar a altura em cm, o que não consegui (penso que seja impossível).

[thoga31]

Uma técnica rápida:

Como AE = AB/3, então podes dividir o trapézio em 3 partes:

• 1 triângulo AED (meio rectângulo);
  
• 2 rectângulos em BCDE.
  

Se reparares, a área do trapézio pode ser divido, portanto, por 1+1+0,5=2,5: 20/2,5 = 8.

Ou seja, o trapézio tem 8+8+4=20 de área.

O triângulo "isolado" vale, portanto, 4, e o outro vale (8+8)/2=8. A área total cinzenta é 12.

A prova em como este raciocínio é válido baseia-se nas contas já indicadas pelo @Happy.

Edited April 7, 2013 at 10:05 PM by thoga31