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NunoDinis

Matrizes invertíveis

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NunoDinis

Boa tarde,

Estou aqui no estudo, já que os exames estão aí à porta. Estou com uma dúvida nesta pergunta.

c) Qual das matrizes A e B é invertível ?

Como devo proceder? ( Podem dar exemplos genéricos. )

Eu sei determinar a matriz inversa, mas não estou a perceber como hei-de saber se é ou não invertível.


Estranha forma de vida que tem a capacidade de transformar comandos em mensagens de erro.

ndsotware.org

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HappyHippyHippo

a matrix é invertivel se existe uma segundo matrix que multiplicada com a original resulta na identidade, onde a segunda matrix é chamada matriz inversa.

tens então : A*A-1 = I

regras de verificação rápida necessárias para que a MAtriz seja invertível:

- número de colunas é igual ao número de linhas

- o determinante da matrix é diferente de 0

sem estas duas condições, a matrix não tem inversa.

Editado por HappyHippyHippo

IRC : sim, é algo que ainda existe >> #p@p

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NunoDinis

Estou a começar a perceber...

Mas por exemplo, vamos supor que eu só tenho a matriz A. Devo "arranjar" uma matriz e multiplicar para verificar se resultou na identidade ?

A = | 1 1 1

2 1 3

1 1 0 |


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HappyHippyHippo

não ... o processo de descubrir a matriz inversa é transformar a matrix com operações atẽ ter a matrix identidade

nota que as operações que deves/podes aplicar são aquelas que podes aplicar na resolução de equações de grau N

- multiplicar uma linha por um escalar

- soma a uma linha, outra linha multiplicada por um escalar

exemplo:

<matrix> | <identidade>
---------|--------------
1  1  1 | 1  0  0
2  1  3 | 0  1  0
1  1  0 | 0  0  1

>> L2 = L2 + (-2)*L1
>> L3 = L3 + (-1)*L1

1  1  1 | 1  0  0
0 -1  1 |-2  1  0
0  0 -1 |-1  0  1 

>> L2 = (-1)*L2
>> L3 = (-1)*L3

1  1  1 | 1  0  0
0  1 -1 | 2 -1  0
0  0  1 | 1  0 -1 

>> L1 = L1 + (-1)*L2

1  0  2 |-1  1  0
0  1 -1 | 2 -1  0
0  0  1 | 1  0 -1 

>> L1 = L1 + (-2)*L3
>> L2 = L2 + L3

1  0  0 |-3  1  2
0  1  0 | 3 -1 -1
0  0  1 | 1  0 -1 

>> Resultado (Matrix Inversa) :

-3  1  2
3 -1 -1
1  0 -1

Editado por HappyHippyHippo
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IRC : sim, é algo que ainda existe >> #p@p

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NunoDinis

Obrigado. Peço-te apenas paciência... e disponibilidade :)

Importas-te de me explicar um pouco mais detalhado estas linhas:

>> L2 = L2 + (-2)*L1
>> L3 = L3 + (-1)*L1

Creio que se perceber isto bem, é mais do que meio caminho andado.


Estranha forma de vida que tem a capacidade de transformar comandos em mensagens de erro.

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HappyHippyHippo

são as operações que efectuei no passo apresentado:

>> L2 = L2 + (-2)*L1 // linha2 = linha2 + (-2)*linha1
>> L3 = L3 + (-1)*L1 // linha3 = linha3 + (-1)*linha1

este método chamasse (eliminação de Gauss-Jordan)

imagina que em vez de teres uma matriz, tens uma conjunto de equações de 3º grau:

1*x  1*y  1*z = 1*x  0*y  0*z
2*x  1*y  3*z = 0*x  1*y  0*z
1*x  1*y  0*z = 0*x  0*y  1*z

agora é resolver as equações a teres do lado esquerdo 1*x, 1*y e 1*z em cada linha.

se verificares que é impossível, então a matrix não é invertível.


IRC : sim, é algo que ainda existe >> #p@p

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HappyHippyHippo

ok, mas tenta interiorizar este algoritmo (o que foi apresentado)

- para cada columna i da matriz da esquerda
 - arranjar uma maneira de converter a célula ixi para o valor de 1
   - seja por multiplicação por escalar
   - seja por operação com outra linha multiplicada por escalar
 - para cara linha diferente de i
   - arranjar uma maneira de cenverter a célula para um valor de 0
     - por operação com a linha i multiplicada pelo inverso do valor que queremos alterar

com este algoritmo chegas sempre à matrix identidade (se possível) na esquerda


IRC : sim, é algo que ainda existe >> #p@p

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Palmeira

Agora o que me explicaste começa a fazer realmente sentido, este vídeo está muito bom.

https://www.youtube.com/embed/rph-2sngHBE?feature=oembed

cuidado com os brasileirismos, a matemática (devia ser) é universal, mas podem ter alguns métodos bastante diferentes dos "nossos". O algoritmo que o HappyHippyHippo te deu, é dos mais básicos e dos primeiros que se aprendem no estudo de matrizes, eu sou mt mau a matemática (no geral) e sabia isto de cabeça :)

Já agora, há no iTunes, podcasts de universidades mundialmente conhecidas e reconhecidas (harvard, mit, etc) que fazem upload de TODAS as aulas (tirando exames/testes) de várias cadeiras, a título de exemplo, eles têm lá Cálculo e Álgebra, se te deres bem com inglês, é bastante simples de aprenderes, e de teres "aulas" outra vez :)

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NunoDinis

A explicação do happy foi boa, e o vídeo complementou-a na perfeição. Fiquei com 15 na cadeira :)

Já agora, há no iTunes, podcasts de universidades mundialmente conhecidas e reconhecidas (harvard, mit, etc) que fazem upload de TODAS as aulas (tirando exames/testes) de várias cadeiras, a título de exemplo, eles têm lá Cálculo e Álgebra, se te deres bem com inglês, é bastante simples de aprenderes, e de teres "aulas" outra vez :)

Não sabia.. deve dar muito jeito!

Editado por NunoDinis

Estranha forma de vida que tem a capacidade de transformar comandos em mensagens de erro.

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ruirodrigues1971

- número de colunas é igual ao número de linhas

- o determinante da matrix é diferente de 0

basta isto ... não é preciso encontrar a inversa para saber que tem inversa. Calcula o determinante da Matriz (após a primeira condição) e ficas logo com a tua resposta se for diferente de zero.

Como não sei qual a dimensão da matriz que trabalhas aqui vai um vídeo que te explica a fazer um determinante em qualquer tipo de matrizes quadradas.

https://www.youtube.com/embed/HhGLJzmChH0?feature=oembed

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