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limites de funções reais de variável vectorial

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Boas, ao estudar os limites das FRVV surgiu-me uma dúvida.

Eis o que percebi:

Para estudarmos os limites quando estes tendem para um dado ponto verificamos que eles existem se para duas trajectórias diferentes o limite der o mesmo.

O problema é o seguinte se tivermos f(x,y)=(x^2y)/(x^4+y^2) e quisermos o limite desta função no ponto (x,y)->(0,0) conseguimos que todas as rectas y=mx dêem lim=0. No entanto se utilizarmos uma parábola do tipo y=x^2 isto já não se verifica e dá 1/2 o limite.

Como é óbvio é impossível testar todas as trajectórias possíveis. Há alguma maneira de saber se existe limite ou não????  🤔

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pedrosorio

Para mostrar que não existe basta-te encontrar um contra-exemplo. Para mostrar que existe tens mesmo que reduzir a função de forma a provar que os limite existe independentemente da parametrização que consideres.


Não respondo a dúvidas por mensagem.

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Provar que não existe pode ser complicado, no exemplo que dei és tentado a dizer que o limite é zero... mas não é  🤔

A verdade é que se andas num exercício de exame a ver se todas dão é mt complicado...

Imagina que tinha de testar y=x^3 ou y=x^4... Nunca mais acabava... há infinitas funções a serem testadas  :P

Não há outro método?

Obrigado desde já pela ajuda

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pedrosorio

Provar que não existe pode ser complicado, no exemplo que dei és tentado a dizer que o limite é zero... mas não é  🤔

Nesse caso tens que "ter olho". Repara que se pegares na função 1/f(x,y)  e separares a fracção em duas, ficas com x^2 / y  +  y / x^2, que está mesmo a pedir y=x^2. Lembra-te, mostrar que o limite existe para y=mx ou algo do género não chega para mostrar que a função tem limite, portanto vais ter sempre que mostrar que existe formalmente. Se não o consegues fazer, o mais natural é que exista um contra-exemplo à espreita.


Não respondo a dúvidas por mensagem.

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Boas, um colega disse-me que era possivel provar que dado limite deste tipo de funções existe através de enquadramento ou coordenadas polares, só que ele também não sabia fazê-lo  👎

Alguem tem alguma ideia de como se pode provar através destas técnicas?  :D

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pedrosorio

Enquadramento é algo que também já deves ter usado para provar limites em R, ou convergência de sucessões. Basicamente, dada uma função f, consiste em definir duas funções g e h, tais que:

g(x) <= f(x) <= h(x),  x pertencente a uma vizinhança do ponto a (em que 'x' e 'a' são vectores em R2, Rn, whatever)

e

lim x->a g(x) = L  e lim x->a h(x) = L

Se tiveres estas duas condições, então podes afirmar que lim x->a f(x) = L.

Em relação às coordenadas polares é exatamente o que o nome diz. Converter os teus x,y (e z caso estejas a trabalhar em R3),  em r , theta (e phi caso estejas a trabalhar em R3).

Para o caso do plano temos, como sabes,  x = r * sin(theta); y = r * cos(theta),  x^2 + y^2 = r^2. Depois de feitas estas transformações, basta transformar o ponto do limite (para que apareça também em coordenadas polares), e resolver o problema. Tipicamente usa-se esta transformação com limites para (0,0) porque esse caso corresponde a r -> 0.

Se tiveres, por exemplo, a função f(x,y) = (x * y^2)/(x^2 + y^2), experimenta lá fazer a conversão para coordenadas polares e achar o limite quando (x,y) -> (0,0).


Não respondo a dúvidas por mensagem.

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Penso que já resolvi, dá sen(theta)*cos(theta)?  🤔

(O enquadramento é do género das séries mas é um bocado mais chato...)

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pedrosorio

Penso que já resolvi, dá sen(theta)*cos(theta)?  🤔

O limite, se existir, tem que ser um número. Apresenta o que fizeste.


Não respondo a dúvidas por mensagem.

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O que fiz foi o seguinte:

Passei x a r*cos(theta) e y a r*sen(theta).

Substitui  x ,x^2 (...) pelas coordenadas polares, meti os r's em evidencia e em denominador ficava cos^2(theta)+ sen^2(theta) que pela fórmula fundamental da trigonometria dá 1.

Ficamos entao com [sen(theta)*r*cos(theta)]/r= sen(theta)*cos(theta).  :D

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Warrior

Se o pedido era lim{(x,y) -> (0, 0)} também terias que converter essa parte e resolver o limite no fim.

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pedrosorio

O que fiz foi o seguinte:

Passei x a r*cos(theta) e y a r*sen(theta).

Substitui  x ,x^2 (...) pelas coordenadas polares, meti os r's em evidencia e em denominador ficava cos^2(theta)+ sen^2(theta) que pela fórmula fundamental da trigonometria dá 1.

Ficamos entao com [sen(theta)*r*cos(theta)]/r= sen(theta)*cos(theta).  :D

Continuas a não apresentar explicitamente o que fizeste. A conversão para coordenadas polares não dá nada do que escreveste.


Não respondo a dúvidas por mensagem.

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Ah, entao dado que x=rcos(theta) e y=rsen(theta) entao o limite daria 0?

rcos(theta)=0 ->theta 90º (circulo trigonométrico)

rsen(theta)=0 ->theta 0º (circulo trigonométrico)

0*0=0???

mas isso nao dá indeterminação?  :D

Ou estou a fazer tudo mal?

Epah então como passo isso para polares? (Agora estou confuso)   

[EDIT pedrosorio: Juntar double post]

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pedrosorio

Vê as fórmulas que eu escrevi da conversão entre coordenadas cartesianas e polares (que já deves saber), e faz passo a passo. E mostra o que fizeste. Primeiro converte o x e y, mostra o que dá, e só depois disso é que deves começar a simplificar.


Não respondo a dúvidas por mensagem.

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x= r*cos(theta)                    y=r*sen(theta)              x^2+y^2=r^2

dado que o limite é para o ponto (0,0) o r->0.

resolvendo o limite fica lim (r->0) [rcos(theta)*r^2 * sen(theta)]/r^2= lim (r->0) r*sen(theta)*cos(theta)=0

é isto?

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pedrosorio

Tudo bem até ao último =

É verdade que o limite é zero, mas terias que justificar. As funções seno e coseno são limitadas (mais precisamente os seus contradomínios são [-1,1]) pelo que o seu produto é também limitado. O limite do produto de uma função que tende para 0 ( r ) por uma função limitada é zero.

Repara que aqui theta não tende para nada porque theta pode ter qualquer valor quando (x,y) -> (0,0). É o análogo daquilo que perguntavas inicialmente no tópico: a relação entre x e y à medida que se aproximam de zero pode ser qualquer uma ( y = mx,  y = x^2, etc.) pelo que o ângulo também pode ser qualquer um.

O que determina o limite nas coordenadas polares é o r->0. Se por acaso esse limite fosse diferente para diferentes valores de theta, a função não teria limite.


Não respondo a dúvidas por mensagem.

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E é por essa mesma razão que só utilizamos este método para limites que tendam para o ponto (0 , 0) é isso?

:D

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pedrosorio

E é por essa mesma razão que só utilizamos este método para limites que tendam para o ponto (0 , 0) é isso?

:D

Não é obrigatório utilizar este método apenas quando estás a achar o limite em (0,0) mas é a situação mais natural para a sua utilização. Se a função estiver obviamente "centrada" em torno de outro ponto não te deves inibir de usar a transformação de coordenadas com uma translação, por exemplo:

f(x,y)  =  (x-5) * (y-3)^2 / ((x-5)^2 + (y-3)^2)    em que queres achar o limite em (5,3)

Poderias aplicar a translação g(x,y) = f(x+5,y+3) = x * y^2 / ( x^2 + y^2)  e agora tens que achar o limite de g em (0,0). Ou seja, tens o problema original ao qual podes aplicar a transformação para coordenadas polares.


Não respondo a dúvidas por mensagem.

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já entendi por exemplo se o limite for para o ponto (1, 2) tenho de usar x-1=r*cos(theta) e y-2= r*sen(theta) e definindo isto o r passa a tender novamente para 0. Desta forma podemos analisar o comportamento

Se nos derem funções por gráfico é possível através de uma vizinhança determinar se existe ou não limite? (funções de variável vectorial).

E se fizermos por coordenadas polares o limite f(x,y) r->(0,0) (x*y)/((x^2)+(y^2)) dá cos(theta)*sen(theta), isto quer dizer que o ponto tem limites diferentes na vizinhança, logo não há limite certo?

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