[Snippet] Fórmula Resolvente

thoga31 · March 21, 2012 at 07:10 PM

Proponho este snippet-base, que encontrei nas minhas pastas muiiiito antigas aka 3 anos, aquando aprendiz verdinho. 😄

Sintam-se à vontade de propor aqui melhoramentos, inclusive com recurso a funções em vez de um programa tão linear. 🙂

Não coloquei na Wiki, para já, pois espero um snippet "mais-melhor". 😁

PROGRAM FormulaResolvente2;
USES crt;  (* Só para a utilização do ClrScr. *)

var a, b, c : real;  // Parâmetros de Ax^2 + Bx + C = 0
   d : real;        // Discriminante
   x1, x2 : real;   // Raízes reais
   vx, vy : real;   // Vértice
   opc : char;      // Opção de saída

BEGIN
    repeat
          ClrScr;
          writeln('FORMULA RESOLVENTE, ax^2 + bx + c = 0');
          writeln;

          repeat
                write('a? ');
                readln(a);
                if (a=0) then writeln('[ERRO! A=0]');
          until (a<>0);

          write('b? ');
          readln(b);

          write('c? ');
          readln(c);

          // Cálculo do discriminante
          d := sqr(b) - 4*a*c;

          // Cálculo das raízes
          if (d>=0) then begin
             x1 := (-b + sqrt(d)) / (2*a);
             x2 := (-b - sqrt(d)) / (2*a);
          end;

          // Cálculo dos pontos X e Y do vértice
          vx := -b / (2*a);
          vy := a*sqr(vx) + b*vx + c;

          // Output dos resultados
          writeln;
          writeln('DISCRIMINANTE:');
          writeln('   d = ',  d, '  (',  d:15:10, ')');

          writeln;
          writeln('RAIZES:');
          if (d>=0) then begin
             writeln('  x1 = ', x1, '  (', x1:15:10, ')');
             writeln('  x2 = ', x2, '  (', x2:15:10, ')');
             if (d=0) then writeln('  [ATENCAO: Raiz dupla!]');
          end else writeln('  [ERRO MATEMATICO: Sem raizes reais!]');

          writeln;
          writeln('VERTICE:');
          writeln('   X = ', vx, '  (', vx:15:10, ')');
          writeln('   Y = ', vy, '  (', vy:15:10, ')');

          // Controlo de saída
          writeln;
          write('ENTER = Repetir. ESC = Sair. ');
          repeat
                opc := ReadKey;
          until (opc in [#13, #27]);
    until (opc = #27);  // ESC
END.

Cumprimentos. 👍

EDIT:

Adaptei para o ideone, e o input que coloquei vai originar como resultado o famoso número de ouro 👍

nunopicado · March 21, 2012 at 07:48 PM

Antes de mais, uma aulinha de matemática please... ?

Quem?????? 😄

thoga31 · March 21, 2012 at 09:55 PM

Antes de mais, uma aulinha de matemática please... ?

Quem?????? 😄

Eheh, ok 😄

Uma função quadrática é uma função do segundo grau cujo gráfico é uma parábola. Traduzindo:

1) função do segundo grau = função quadrática = função cuja variável independente toma como maior grau 2, ou seja, tem um x² pelo meio, mas não tem potências superiores

1.1) O grau de uma função define-se pela maior potência que a função tem na variável independente.

2) Parábola: se não estás a ver o que é, google imagens 😉

Uma função quadrática tem duas soluções pois pode interceptar o eixo dos xx num máximo de dois pontos.

A fórmula que determina esses valores é chamada de fórmula resolvente - o nome diz tudo. 🙂

Mas, para se aplicar esta fórmula, deves ter a função na forma canónica. WTH? Não, não tem a ver com graus da Igreja. 😕 É apenas uma forma pomposa de dizer formato padrão.

Estas duas funções, f e g, são exactamente as mesmas, mas g está na forma canónica e f não:

f(x) = 2(x+1)(x-2)
g(x) = 2x² - 2x - 4

A forma canónica da quadrática é dada por ax² + bx + c = 0. Na função g, a=2, b=-2 e c=-4.

E eis os valores a, b e c que eu peço no programa. É a partir destes que se resolve uma função quadrática.

Mas a função pode ter 2, 1 ou nenhuma raíz (aka solução). Nota: as raízes de uma função f são dadas por f(x) = 0.

Para a função quadrática é a fórmula resolvente que nos dá a solução:

x = (-b +- SQRT(b² - 4ac)) / (2a)

Ora, uma coisa interessante é o que está dentro da raíz quadrada - é chamado de factor discriminante pois indica-nos quando é que há 2, 1 ou nenhuma soluções reais.

d = b² - 4ac (o "d" costuma ser um delta)

d > 0 - há 2 raízes
d = 0 - há 1 raíz - chama-se a este caso raíz dupla
d < 0 - não há raízes reais. Nota: neste caso hverá 1 ou 2 raízes complexas devido à raíz de um número negativo.

Por isto é que faço o controlo com o discriminante no programa e informo quando é que há raíz dupla.

O vértice da parábola, ou seja, é um ponto, calcula-se a partir da sua coordenada X.

V_x = -b / (2a)

A coordenada Y calcula-se substituindo o valor de X na função (aproveitamos no programa a forma quadrática):

V_y = a*V_x² + b*V_x + c

E pronto, eia a tão desejada aula de matemática. 🙂

Já compreendes o programa? 🙂

nunopicado · March 21, 2012 at 10:13 PM

Antes de mais, uma aulinha de matemática please... ?

Eu e a minha grande boca... (neste caso, dedos)

Depois de ver esta tua excelente explicação, posso dizer com confiança que...

OK, vou dar a oportunidade a outros membros... ? Não quero que pensem que eu não deixo os outros resolver os exercicios! ?

thoga31 · March 21, 2012 at 10:15 PM

Eu e a minha grande boca... (neste caso, dedos)

Depois de ver esta tua excelente explicação, posso dizer com confiança que...

OK, vou dar a oportunidade a outros membros... ? Não quero que pensem que eu não deixo os outros resolver os exercicios! ?

Quero ver quantos vão participar se tu não colocares aqui os teus dedos... 😉🙂

nunopicado · March 21, 2012 at 10:20 PM

É bom que sim... que eu e a matemática não somos os melhores amigos... 😉

thoga31 · March 21, 2012 at 10:27 PM

Em 21/03/2012 às 22:20, nunopicado disse:

É bom que sim... que eu e a matemática não somos os melhores amigos... 🙂

Ah, mas esta não é difícil. Se visses coisas como eu já vi... ui ui! 😕

😉

nunopicado · March 21, 2012 at 10:34 PM

:fartnew2: ? ?

Volta Fibonacci, estás perdoado...

thoga31 · March 21, 2012 at 10:36 PM

:fartnew2: ? ?

Volta Fibonacci, estás perdoado...

Estás a ver? Eu bem disse, eheheh 😉

pwseo · March 22, 2012 at 11:42 AM

Aqui fica a minha proposta (no Ideone também).

Inicialmente ainda pensei em colocar o cálculo do discriminante numa função, ou então o cálculo do vértice, mas achei desnecessário.

program quad;

(* Abstraímos o input dos números para um procedimento
   separado, que nos permite verificar se o utilizador
   introduziu ou não um número, e continuar a pedir-lho
   se não tiver introduzido. *)
procedure prompt(t: string; var dest: real);
var
  e: integer = 1;
  s: string;
begin
  repeat
    write(t, ': ');
    readln(s);
    val(s, dest, e);
  until e <= 0;
end;

var
  a, b, c, d: real;  // a, b, c e o discriminante
  x1, x2: real;      // zeros da função
  vx, vy: real;      // coordenadas do vértice da parábola
begin
  repeat
    prompt('a', a);
  until a <> 0;      // função quadrática implica a <> 0
  prompt('b', b);
  prompt('c', c);

  d := sqr(b) - (4 * a * c);

  writeln('');
  writeln('Discriminante: ', d:0:2);

  writeln('');
  writeln('Soluções:');
  if d = 0 then
  begin
    x1 := -b / (2 * a);
    vx := x1;
    vy := 0;   // nestes casos a solução encontra-se em cima do eixo
    writeln('  x1: ', x1:0:2);
    writeln('');
    writeln('V(x,y) = (', vx:0:2, ',', vy:0:2, ')');
  end
  else if d < 0 then
    writeln('  Sem soluções em R.')
  else
  begin
    x1 := (-b + sqrt(d)) / 2 * a;
    x2 := (-b - sqrt(d)) / 2 * a;
    vx := -b / (2 * a);
    vy := a * sqr(vx) + b * vx + c;
    writeln('  x1: ', x1:0:2);
    writeln('  x2: ', x2:0:2);
    writeln('');
    writeln('V(x,y) = (', vx:0:2, ',', vy:0:2, ')');
  end;
end.

thoga31 · March 23, 2012 at 08:46 PM

Gostei do teu prompt, também pensei em fazer isso e precisamente com o mesmo nome devido ao facto de programar em TI-Basic e teres os comandos Input e Prompt. 😉

pwseo · March 23, 2012 at 08:52 PM

Pois, são funções de utilização geral que se forem bem feitas podem até ser exportadas para um módulo reutilizável.

Sabes, comecei ontem (como forma de adiar o estudo) a fazer um módulo para construção de menus em programas.

Funciona tudo de forma procedural (sem objectos, vá) e obriga os utilizadores a separarem o seu programa em procedimentos diferentes. Fiz isto na brincadeira, mas estou a pensar em publicar por aqui para ajudar os novatos a fazer programas onde se focam pouco num interface e muito na lógica do programa (com a coisa boa de serem obrigados a partir o programa em segmentos lógicos).

thoga31 · March 23, 2012 at 09:02 PM

Esse módulo será, decerto, muito bem-vindo. Força nisso! 😉

nunopicado · March 23, 2012 at 09:05 PM

Também era interessante alguém dedicar-se a mostrar o funcionamento do FreeVision.

Desde já me meto fora disso! 😉 Não há tempo nem pachora...

Mas que era interessante, era!

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