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thoga31

Integral por Substituição Trigonométrica

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thoga31

Olá, pessoal.

Tenho aqui uma questão no que toca a integrais resolvidas por substituição trigonométrica.

Tenho a função f(x) = x3 * sqrt(1 + x2)

Ora, tenho de descobrir o integral definido desta função de 1 a 4.

Para resolver, ha que utilizar a substituição trigonométrica. Neste caso, utilizo x = sen(a). Resolvendo a integral indefinida, chego ao seguinte:

(-1/3)cos3(a) + (1/5)cos5(a)

A minha dúvida é a seguinte: como resolvo isto sendo definido? Que substituição tenho de fazer no fim? Ou substituo no fim?

Cumprimentos. ;)


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pedrotuga

É um integral por substituição, a função de substituição ser trigonométrica não muda nada.

Isso resolve-se recorrendo à formula de primitivação da função composta. Quando andava a estudar chamavam-lhe 'integral de g após f' ou 'gof' com um 'o' muito pequeno. Infelizmente não tenho nenhum livro de cálculo comigo e não me lembro da fórmula de cór. há pesquisei um pouco no google mas não sei o nome disto em inglês :/

Alguem saque aí do swokowski e ajude o rapaz. Eu no meu quarto de estudante tinha essa fórmula na parede.

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Tharis

É relativamente simples.

O teu integral original é desde x = 1 até x = 4.

Ora bem, se realizas a substituição x = sin(a), queres responder à pergunta "Qual o valor de a quando x = 1 e quando x= 4, de modo a utilizá-los no integral em ordem a a.

Para isso, resolves a substituição em ordem a a e obténs a = arcsin(x).

O teu "novo" integral (em ordem a a) será entre a = arcsin(1) e a = arcsin(4).

O primeiro valor é pi/2. O segundo é impossível visto o seno ter valores em [-1,1].

Isto deve-se ao facto da substituição ter de ser uma função injectiva no intervalo de integração e o seno não o é.

Recomendo-te a substituição sqrt(s-1) para resolver esse integral, no entanto digo-te que é chato e penso que o objectivo não era resolver este integral em específico, mas um com substituição trigonométrica.

Cumprimentos ;)

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thoga31

Já resolvi. Sendo obrigado a utilizar a Substituição Trigonométrica, descobri uma tabela de substituições que o professor não nos tinha informado existir.

Para o caso do integrando ser do tipo sqrt(a2 + b2u2) utilizamos a igualdade u = (a/:).tg(z) para obter a.sec(z).

Ora, neste caso, resolvemos o integral e obtemos (1/5).sec5(z) - (1/3).sec3(z), ou seja, voltando atrás (desfazendo a substituição), temos uma primitiva, definida de 1 a 4, (1/5).(1+x2)5/2 - (1/3).(1+x2)3/2.

Porquê? Pelo triângulo rectângulo (Teorema de Pitágoras), se tg(z)=x então o cateto oposto é x, o adjacente é 1 e a hipotenusa é o integrando sqrt(a2 + b2u2) - daqui obtemos o valor do secante de z (sec(z)).

O resultado, arredondado às unidades (pedido no enunciado), é 215, o que bate certo com a solução que o professor forneceu, conferida por mim na minha TI84+SE.

Obrigado a todos.

Cumprimentos. ;)


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