Jump to content
  • Revista PROGRAMAR: Já está disponível a edição #60 da revista programar. Faz já o download aqui!

Sign in to follow this  
thoga31

Integral por Substituição Trigonométrica

Recommended Posts

thoga31

Olá, pessoal.

Tenho aqui uma questão no que toca a integrais resolvidas por substituição trigonométrica.

Tenho a função f(x) = x3 * sqrt(1 + x2)

Ora, tenho de descobrir o integral definido desta função de 1 a 4.

Para resolver, ha que utilizar a substituição trigonométrica. Neste caso, utilizo x = sen(a). Resolvendo a integral indefinida, chego ao seguinte:

(-1/3)cos3(a) + (1/5)cos5(a)

A minha dúvida é a seguinte: como resolvo isto sendo definido? Que substituição tenho de fazer no fim? Ou substituo no fim?

Cumprimentos. ;)


Knowledge is free!

Share this post


Link to post
Share on other sites
pedrotuga

É um integral por substituição, a função de substituição ser trigonométrica não muda nada.

Isso resolve-se recorrendo à formula de primitivação da função composta. Quando andava a estudar chamavam-lhe 'integral de g após f' ou 'gof' com um 'o' muito pequeno. Infelizmente não tenho nenhum livro de cálculo comigo e não me lembro da fórmula de cór. há pesquisei um pouco no google mas não sei o nome disto em inglês :/

Alguem saque aí do swokowski e ajude o rapaz. Eu no meu quarto de estudante tinha essa fórmula na parede.

Share this post


Link to post
Share on other sites
Tharis

É relativamente simples.

O teu integral original é desde x = 1 até x = 4.

Ora bem, se realizas a substituição x = sin(a), queres responder à pergunta "Qual o valor de a quando x = 1 e quando x= 4, de modo a utilizá-los no integral em ordem a a.

Para isso, resolves a substituição em ordem a a e obténs a = arcsin(x).

O teu "novo" integral (em ordem a a) será entre a = arcsin(1) e a = arcsin(4).

O primeiro valor é pi/2. O segundo é impossível visto o seno ter valores em [-1,1].

Isto deve-se ao facto da substituição ter de ser uma função injectiva no intervalo de integração e o seno não o é.

Recomendo-te a substituição sqrt(s-1) para resolver esse integral, no entanto digo-te que é chato e penso que o objectivo não era resolver este integral em específico, mas um com substituição trigonométrica.

Cumprimentos ;)

Share this post


Link to post
Share on other sites
thoga31

Já resolvi. Sendo obrigado a utilizar a Substituição Trigonométrica, descobri uma tabela de substituições que o professor não nos tinha informado existir.

Para o caso do integrando ser do tipo sqrt(a2 + b2u2) utilizamos a igualdade u = (a/:).tg(z) para obter a.sec(z).

Ora, neste caso, resolvemos o integral e obtemos (1/5).sec5(z) - (1/3).sec3(z), ou seja, voltando atrás (desfazendo a substituição), temos uma primitiva, definida de 1 a 4, (1/5).(1+x2)5/2 - (1/3).(1+x2)3/2.

Porquê? Pelo triângulo rectângulo (Teorema de Pitágoras), se tg(z)=x então o cateto oposto é x, o adjacente é 1 e a hipotenusa é o integrando sqrt(a2 + b2u2) - daqui obtemos o valor do secante de z (sec(z)).

O resultado, arredondado às unidades (pedido no enunciado), é 215, o que bate certo com a solução que o professor forneceu, conferida por mim na minha TI84+SE.

Obrigado a todos.

Cumprimentos. ;)


Knowledge is free!

Share this post


Link to post
Share on other sites

Create an account or sign in to comment

You need to be a member in order to leave a comment

Create an account

Sign up for a new account in our community. It's easy!

Register a new account

Sign in

Already have an account? Sign in here.

Sign In Now
Sign in to follow this  

×

Important Information

By using this site you accept our Terms of Use and Privacy Policy. We have placed cookies on your device to help make this website better. You can adjust your cookie settings, otherwise we'll assume you're okay to continue.