Diagonais Poligonos convexos

[Peninha]

Bem, nao sei se alguem ainda esta' interessado, mas a prova disto faz-se em poucas linhas 😉

[Grettir]

Eheheh...

força Peninha, coloca ai a prova da coisa.

Temos de começar a puxar pela rapaziada...a matemática é um jogo de logica e de muita pratica.

Estou a pensar em colocar aqui um pequeno problema e apos algum tempo colocar a resposta (a demonstraçao)

O que acham da ideia?

Fiquem bem

[Peninha]

Ok, entao aqui fica a "prova":

Comecemos por pensar num poligono convexo com n lados (ou n vertices). Uma forma de contar as diagonais deste poligono (D_n) e' estabelecer uma relacao entre D_n e D_{n-1}, ie, as diagonais de um poligono convexo com n-1 lados. Para facilitar a escrita, P_n denota um poligono de n lados.

Lema:

D_n = D_{n-1} + n -2 para n>3

D_3 = 0

Demonstracao:

(esta parte nao provei mas penso que funciona 😉 ) Notemos que P_n pode ser decomposto como o fecho convexo de um vertice V de P_n com um poligono convexo de n-1 lados. Assim, o numero de diagonais de P_n e' a soma de

• - diagonais de P_{n-1}
  - a diagonal que liga os vertices adjacentes a V (enquanto vertice de P_n)
  - as n-3 diagonais que tem origem em V

e o resultado fica demonstrado!

Para obter o pretendido basta agora resolver a relacao de recorrencia:

D_n =

= D_{n-1} + n-2

= D_{n-2} + (n-3) + (n-2)

= D_{n-3} + (n-4) + (n-3) + (n-2)

=...= D_3 + 2 + 3 + ... + (n-3) + (n-2)

= 2 + 3 + ... + (n-3) + (n-2)

= n(n-3)/2

A decomposicao de P_n nao esta' muito bem justificada, mas penso que com a formalizacao adequada e' possivel provar isso (pelo menos e' intuitivo).

Quando a problemas para resolver, venham eles!

[saramgsilva]

ppl nao se assustem com as coisas que dizemos, por vezes até sao coisas simples, é so necessario analisa-las com calma e paciencia...e por vezes nao é preciso saber assim tanto de math ;)

em relação a problemas, acho boa ideia...de momento tou sem tempo pra tratar disso, mas dou a sugestao: olimpiadas de math tem exercicios mto giros... 8)