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skiller10

Eq.Recta x,y e x,y,z

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skiller10

Heys,

Alguém me consegue explicar como definir uma recta x,y e como saber de um ponto p(x,y) está inserido nessa mesma recta?

E após isso adicionar o z, definindo a recta x,y,z e saber se um ponto p(x,y,z) está inserido ...

Obrigado desde já :confused:


"Eu acredito que a vida está constantemente nos testando em nosso nível de confiança, e a vida tem grande recompensa reservada àqueles que demonstram uma confiança sem fim para agir até conseguir. Este nível de resolução pode mover montanhas, mas ele tem de ser constante e consistente. Tão simples quanto isso possa soar, ainda é o denominador comum que separa aqueles que vivem seus sonhos dos que vivem simplesmente.."

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thoga31

Substituis na equação da recta os valores do ponto. Por exemplo, seja a recta r:

r: y=2x+1

O ponto P(3,5) pertence? Substituindo: 5 = 2*3+1 <=> 5 = 7 - preposição falsa, logo o ponto P não pertence à recta r.

O mesmo se faz em 3D. :confused:


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skiller10

a eq.reduzida é:

y=mx+b

como é que, apartir de dois pontos: A(x1,y1) B(x2,y2) defino a equação bem?

Podes dar um exemplo em 3D sff?


"Eu acredito que a vida está constantemente nos testando em nosso nível de confiança, e a vida tem grande recompensa reservada àqueles que demonstram uma confiança sem fim para agir até conseguir. Este nível de resolução pode mover montanhas, mas ele tem de ser constante e consistente. Tão simples quanto isso possa soar, ainda é o denominador comum que separa aqueles que vivem seus sonhos dos que vivem simplesmente.."

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thoga31

y = mx+b

P1(x1,y1); P2(x2,y2)

m = (y2-y1)/(x2-x1)

Daqui, substituis um dos pontos pela equação y=mx+b, já com o m, e obténs o b.

Em 3D, é sempre o mesmo, a diferença é que tens mais uma variável para substituir!

Já agora, estás em que ano?


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skiller10

Entendi, muito obrigado ;D

Estou no 11ºano no curso de informática.

Só agora desde que entrei nos concursos de programação é que recuperei o interesse pela matemática.


"Eu acredito que a vida está constantemente nos testando em nosso nível de confiança, e a vida tem grande recompensa reservada àqueles que demonstram uma confiança sem fim para agir até conseguir. Este nível de resolução pode mover montanhas, mas ele tem de ser constante e consistente. Tão simples quanto isso possa soar, ainda é o denominador comum que separa aqueles que vivem seus sonhos dos que vivem simplesmente.."

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thoga31

Pois, no 11º do Cursco Científico-Humanístico de Ciências e Tecnologias é que não podias estar, com essas questões. Nada contra os CEFs e afins, atenção, apenas a razão pela qual te perguntei o ano. :confused:

Essas das rectas é uma questão de pura lógica. Pensa numa equação-exemplo, tipo y=2x: como podia eu obter o m? Tenho dois pontos P1(1,2) e P2(2,4), ora faria m=(2-4)/(1-2) <=> m=2. Pegando neste exemplo, nunca te esqueces de como calcular o m através de dois pontos. :)


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skiller10

Entendi perfeitamente para (x,y).

Estava um pouco distraído e entendi bem a parte do 'z'  :confused:

Podes dar a formula da eq. reduzida para xyz?


"Eu acredito que a vida está constantemente nos testando em nosso nível de confiança, e a vida tem grande recompensa reservada àqueles que demonstram uma confiança sem fim para agir até conseguir. Este nível de resolução pode mover montanhas, mas ele tem de ser constante e consistente. Tão simples quanto isso possa soar, ainda é o denominador comum que separa aqueles que vivem seus sonhos dos que vivem simplesmente.."

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thoga31

Podes dar a formula da eq. reduzida para xyz?

Mas não deste isso na escola? Tens duas grandes formas, a canónica e a vectorial. Agora procura um pouco nos livros, eu já não tenho matemática dessa aos anos, não me lembro de tudo e não tenho os livros comigo, pois estão em caixotes.


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pedrosorio

Entendi perfeitamente para (x,y).

Estava um pouco distraído e entendi bem a parte do 'z'  :confused:

Podes dar a formula da eq. reduzida para xyz?

Para o z a fórmula é precisamente a mesma:

z = mx + b

Em que este m e b são, em geral, diferentes do m e b para o y. Atenção que com estas duas equações podes representar todas as rectas excepto aquelas que são paralelas aos eixos y e z. Em geral é melhor usares a fórmula vectorial:

P = P0 + t * V

A equação acima diz que qualquer ponto P = (px,py,pz) da recta pode ser escrito como P0 = (p0x,p0y,p0z) um ponto pertencente à recta, mais V = (vx,vy,vz) o vector que define a direcção da recta vezes t um número real que dá a distância* entre o ponto P0 e o ponto P.

*t é a distância entre estes pontos se V for um vector unitário, ou seja, se a sua norma (comprimento) for igual a 1.

Repara que definir a equação de uma recta que passa por pontos A = (ax,ay,az) e B = (bx,by,bz) é muito simples, basta dizer que um deles é P0 e o outro é P:

B = A + t * V    <=>  t * V = B - A  <=> V = (B - A)/t

O vector V na definição da recta pode ser "esticado" ou "comprimido" como bem entendermos, podíamos por exemplo dizer que t=1 para este caso e teríamos V = B - A. Se quisermos que V seja unitário como foi dito acima basta fazer t = ||B - A|| e temos V = (B - A)/||B - A|| que tem norma 1. Nesse caso a nossa recta tem a seguinte equação:

P = A + t * (B - A)/||B - A||

Para verificar se um dado ponto C pertence a uma recta, basta substituir o ponto na equação que apresentei originalmente:

C = P0 + t*V  <=> C - P0 = t*V  <=>

O que a equação acima diz é que os vectores  C-P0 e V têm que possuir a mesma direcção. Como deves saber, isso acontece se conseguires achar um número t tal que ao multiplicar cada uma das componentes do vector V por t obtenhas a componente correspondente do vector C - P0.

Repara que os métodos de construção da equação da recta e de testar se um ponto pertence a uma recta são válidos para 3D como para 2D (ou nD para qualquer n>0 inteiro, na realidade :) )


Não respondo a dúvidas por mensagem.

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skiller10

Bem pelo que percebi e andei a pesquisar:

Se eu tiver três pontos:

A(x1,y1,z1)

B(x2,y2,z2)

C(x3,y3,z3)

Posso definir a equação vectorial, que passa por A e B, como:

(x, y, z) = (x1, y1, z1) + (x2-x1, y2-y1, z2-z1) K,  K € lR

E para verificar se o ponto C pertence à recta faço um sistema de equações: (Refiro-me aqui a (x2,y2,z2) como as coordenadas do vector director e nao do ponto :)

x = x1 + x2 * K

y = y1 + y2 * K

z = z1 + z2 * K

E caso dê um valor para K igual nas três partes então pertence à recta. Estou correcto?


"Eu acredito que a vida está constantemente nos testando em nosso nível de confiança, e a vida tem grande recompensa reservada àqueles que demonstram uma confiança sem fim para agir até conseguir. Este nível de resolução pode mover montanhas, mas ele tem de ser constante e consistente. Tão simples quanto isso possa soar, ainda é o denominador comum que separa aqueles que vivem seus sonhos dos que vivem simplesmente.."

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pedrosorio

Bem pelo que percebi e andei a pesquisar:

Se eu tiver três pontos:

A(x1,y1,z1)

B(x2,y2,z2)

C(x3,y3,z3)

Posso definir a equação vectorial, que passa por A e B, como:

(x, y, z) = (x1, y1, z1) + (x2-x1, y2-y1, z2-z1) K,  K € lR

E para verificar se o ponto C pertence à recta faço um sistema de equações: (Refiro-me aqui a (x2,y2,z2) como as coordenadas do vector director e nao do ponto :)

x = x1 + x2 * K

y = y1 + y2 * K

z = z1 + z2 * K

E caso dê um valor para K igual nas três partes então pertence à recta. Estou correcto?

Sim, foi o que expliquei acima. O sistema de equações que definiste  para determinar se o ponto C pertence, deve ser:

x3 = x1 + (x2-x1) * K

y3 = y1 + (y2-y1) * K

z3 = z1 + (z2-z1) * K


Não respondo a dúvidas por mensagem.

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skiller10

Obrigado ;D


"Eu acredito que a vida está constantemente nos testando em nosso nível de confiança, e a vida tem grande recompensa reservada àqueles que demonstram uma confiança sem fim para agir até conseguir. Este nível de resolução pode mover montanhas, mas ele tem de ser constante e consistente. Tão simples quanto isso possa soar, ainda é o denominador comum que separa aqueles que vivem seus sonhos dos que vivem simplesmente.."

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