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carlos.p

[Dúvida] Mostrar relação de equivalência (Matemática Discreta)

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carlos.p

Boas,

Estou aqui há imenso tempo à volta de um exercício e, estou a ter dificuldades em "começar" a resolvê-lo.

Trata-se da prova de uma relação de equivalência em ZxZ:

Para quaisquer a, b, c, d pertencente a Z:

(a, :) R (c, d) se e só se a+d = b+c

Mostre que R é uma relação de equivalência.

Não estou a pedir soluções, só quero um "empurrãozinho", para perceber sequer como começar a resolver isto.

Sei que para o provar, tenho de mostrar que R é reflexiva, simétrica e transitiva, e, apesar de saber o que essas propriedades significam, não sei mesmo como começar..

Cumprimentos e agradecimentos em avanço! :)

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Rui Carlos

Simétrica:

(a,;) R (c,d) <=> a+d = b+c    (1)

(c,d) R (a,;) <=> c+b = d+a    (2)

Agora falta mostrar que (1) é equivalente a (2), o que trivial.

Reflexiva:

(a,;) R (a,B) <=> ???

Mais uma vez, parece-me trivial, é só usar a definição de R.

Transitiva:

(a,B) R (c,d) && (c,d) R (e,f) <=> a+d = b+c && c+f = d+e <=> c = d+e-f && a+d = b+d+e-f <=> ?1?

(a,B) R (e,f) <=> ?2?

É só substituir ?1? e ?2? por expressões iguais.

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