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softklin

Calcular o limite de uma função

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softklin

Boas pessoal.

Mais uma vez o Cálculo Integral me traz até aqui. Estou a tentar resolver o exame no qual não passei e uma das dificuldades que encontrei foi no seguinte exercício:

lim (x - sen(x)) / (3x + (-1)^x)

Segundo o WolframAlpha, o resultado é 1/3, tal como se apenas tivesse o x / 3x, no qual cortava a variável, e obtinha o valor pretendido. Eu continuo com essa pista, porque as funções sen(x) e (-1)^x não tem limite definido quando x tende para infinito, e ouvi falar qualquer coisa de funções limitadas nessa situação, quando multiplicadas por outra, davam um resultado conhecido. Acho que não posso separar as equações, porque tenho somas em vez de multiplicações.

Alguém sabe dessa regra das funções, e como resolver esta equação?


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Tharis

Podes resolver isto pelo Teorema das Sucessões Enquadradas ou como eu prefiro, Teorema da Sanduíche.

Sabes que:

(x - 1)/(3x + 1) <= (x - sen(x))/(3x + (-1)^x) <= (x + 1)/(3x - 1)

(x-1) minimiza o numerador e (3x+1) maximiza o denominador, minimizando o quociente.

(x+1) maximiza o numerador e (3x-1) minimiza o denominador, maximizando o quociente.

Então a expressão que tem encontra-se nesse intervalo. Se aplicares o limite a cada uma das expressões obténs:

lim (x - 1)/(3x + 1) <= lim (x - sen(x))/(3x + (-1)^x) <= lim (x + 1)/(3x - 1)

1/3 <= lim (x - sen(x))/(3x + (-1)^x) <= 1/3

Portanto, lim (x - sen(x))/(3x + (-1)^x) = 1/3.

Regards

Tharis

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softklin

Aplicação directa do Teorema das Sucessões Enquadradas! E eu a pensar que se tinham esquecido de por isso no Exame, mas também não chegava lá, nem sabia que dava para usar neste caso.

Excelente dica, muito obrigado Tharis! :)


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thoga31

O mesmo de sempre! A Matemática a iludir-nos! :)

No meio de uma expressão de meter medo ao susto por meter exponenciais e funções trigonométricas numa rajada só, afinal a resolução é por um método simples de se usar :)

Enfim...

Cumpz. :)


Knowledge is free!

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Tharis

Aplicação directa do Teorema das Sucessões Enquadradas! E eu a pensar que se tinham esquecido de por isso no Exame, mas também não chegava lá, nem sabia que dava para usar neste caso.

Excelente dica, muito obrigado Tharis! :)

Quando vires algo que não tem limite definido e que seja limitado, provavelmente trata-se da Sanduíche. :)

You're welcome. Sempre à disposição :)

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