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Determinar a soma de uma série convergente (limite da série)


fnds
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O máximo que consegui fazer foi expandir a soma em coisas do tipo 1/x, e é possível ver conseguimos obter os valores 2*1/2, 2*1/4, 2*1/8, 2*1/16, ..., ou seja, dá a entender que essa série é igual a 1/2^n, para n em {0,1,2,...}, que é uma série geométrica, e é fácil de concluir que a sua soma é 2. No entanto não consegui provar que a soma de ambas as séries são efectivamente iguais.

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Como é que se usa Latex no fórum?

Eu transformaria isso numa série de séries. Se reparares aquilo que fazes é 1/2 + 2 * 1/4 + 3 * 1/8, etc. Isto pode ser descrito como uma série de séries, i.e. (1/2 + 1/4 + 1/8 + ...) + (1/4 + 1/8 + ...) + (1/8 + ...).

Isto significa que a série que escreveste é exactamente igual a:

[tex]\sum_{i=1}^{+\infty} \sum_{k=i}^{+\infty}(1/2)^k[/tex]                        (1)

Interessa agora converter esta série de séries em algo cujo valor consigamos determinar. Temos que:

[tex]\sum_{k=i}^{+\infty}(1/2)^k =\sum_{k=0}^{+\infty}(1/2)^k-\sum_{k=0}^{i-1}(1/2)^k[/tex]

A primeira parcela é uma série de potências que vale 2, enquanto o segundo termo é o somatório de i termos de uma progressão geométrica e vale 2 * (1 - (1/2)^i) = 2 -  (1/2)^{i-1}. Pelo que:

[tex]\sum_{k=i}^{+\infty}(1/2)^k=2-(2-(1/2)^{i-1})=(1/2)^{i-1}[/tex]                  (2)

Substituindo (2) em (1):

[tex]\sum_{i=1}^{+\infty}(1/2)^{i-1} = \sum_{i=0}^{+\infty}(1/2)^i[/tex]

Que é novamente a nossa conhecida série de potências = 2.

Não respondo a dúvidas por mensagem.

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