Dúvida de geometria

[turkis]

Boas...

A minha matemática não é lá grande coisa, só tenho Mat B e ainda estou no 11º, e não sei resolver isto:

http://img519.imageshack.us/img519/9134/trigzm3.jpg

conhecidos os pontos X1;X2;Y1;Y2 e sabendo-se os comprimentos de a,b e c, quais os pontos X3 e Y3?

isto é para fazer um programa em Pascal para desenhar planificações de sólidos irregulares, divido o sólido em triângulos, e faço o rebatimento dos mesmos num plano. com isto resolvido, já dava para fazer imensas coisas...

desde já agradeço a vossa atenção.

[djthyrax]

Para saberes o X3 tendo o Y3:

Prolongas a linha do Y1 e a do X1 e ficas com um rectângulo dividido a meio, em que a diagonal é A. Se sabes a distância Y1 até Y3, é só usares o teorema de pitágoras: a^2 = (y3-y1)^2 + (x3-x1)^2

Assumindo que a = 10, y1 = 10, x1 = 10, y3 = 14:

100 = 4^2 + (x3-10)^2 <=> tens aqui um caso notável, o quadrado da diferença: (x3-10) -> (x3-10)(x3-10) -> x3^2 - 2*(10*x3) + 100

<=> x3^2 - 2*(10*x3) + 100 - 100 + 16 = 0 <=>

<=> x3^2 - 20*x3 + 16 = 0 <=> fórmula resolvente -> x = (-b + sqrt(b^2-4ac))/2a \/ x = (-b - sqrt(b^2-4ac))/2a

<=> x = (20 + sqrt(400-4*16))/2 \/ x = (20 - sqrt(400-4*16))/2 <=>

<=> x = (20 + sqrt(400-64))/2 \/ x = (20 - sqrt(400-64))/2 <=>

<=> x = (20 + 18.33)/2 \/ x = (20 - 18.33)/2 <=> (como o x3 é maior que o x1, a segunda hipótese é removida

<=> x = 38.33/2 = 19.165

[pedrotuga]

Haverá muitas formas de resolver isto, a mais directa que me estou a lembrar é usar umas equações vectoriais.

Considera os três pontos onde os vértices estão

P (X1,Y1)

Q (X2,Y2)

R (X3,Y3)

Se subtraíres dois pontos obtens um vector cujo comprimento é igual à distância entes esses pontos e a direcção paralela ao segmento de recta que os une.

Assim sendo basta-te escrever a equação que relaciona os três vectores e as três equações que relacionam o comprimento do vector com as suas componentes, ou seja, as equações das normas dos vectores.

Então o teu sistema é este:

(Q - P) = (R - P) + (Q - R)

|(Q - P)| = c

|(R - P)| = a

|(R - Q)| = a

Substitui pelos Xs e Ys e resolve o sistema.

Nas três últimas equações tens que usar a fórmula do comprimento (norma) de um vector.

Se tiveres dúvidas não hesites, isto explicar assim com recurso só a texto às vezes torna-se confuso.

EDIT: djthyrax, ele não sabe a distência de Y1 a Y3

[turkis]

pois...o mal mesmo é eu ter mat B, isto é matéria de mat A, e como só tinha o curso tecnológico informática disponível à noite, não tenho outra hipótese (o curso é bom, pena é não ter mat A 👍 )

por outras palavras, não sei resolver e nem nunca vi equações vectoriais ?

não sei se é pedir muito, mas para agora preferia uma coisa do tipo a=b*c+d ; e=a+c-b, se der, claro 😄

ps:

como eu trabalho de dia e estudo de noite, não posso estar a fugir da matéria que tem que ser dada, dado que já com a matéria que dou tenho que trabalhar bastante 😕 , não é nada fácil...mas normalmente durante as férias vou tentando fazer a mat A...queria ir para a UA (matemática aplicada à computação) e para isso tenho que ter bases de jeito a mat. se eu podesse estava a tirar a mat A, dado que gosto bastante de matemática.

EDIT:

na volta uma literatura sobre este assunto era melhor...se poderem disponibilizar alguma indicada para noobs agradecia 😉

[pedrotuga]

Bem.... eu enganei-me e confundi-te. A primeira equação não é precisa pois é equivalente a 0=0.

As três equações das normas são tudo o que precisas.

Mas já estou a ver que não sabes o que é um vector, o que complica as coisas.

O melhor é mesmo leres um pouco sobre vectores. O que é um vector, como se calcula um vector através da subtração de um ponto por outro, a soma de um vector com um ponto, etc.

Uma vez que queres ir para matemática aplicada à computação vais ter que te ir habituando a fazer leituras extra muuuuuuuuuuuuuito frequentemente.

[turkis]

boas....

já dei uma olhada, e esta matéria está na Mat A 11º. já arranjei uns manuais porreiros e vou dar uma olhada...

obrigado a todos

[pedrosorio]

Eu posso-me ter enganado. Mas a equação explícita em ordem a X3 e Y3 dá mesmo uma grande complicação...

[djthyrax]

Acabou de se fazer luz na minha tola. Sabendo que c é 1->2, e que b é 2->3 e a 1 -> 3, basta construires abrires o compasso em 2 com abertura b e traçares, abres em 1 com a de abertura, e traças. Onde eles se interceptam é o ponto 3.

Podes simular isto recorrendo a código. 😄

[pedrotuga]

Acabou de se fazer luz na minha tola. Sabendo que c é 1->2, e que b é 2->3 e a 1 -> 3, basta construires abrires o compasso em 2 com abertura b e traçares, abres em 1 com a de abertura, e traças. Onde eles se interceptam é o ponto 3.

Assim o máximo que obtens é um valor aproximado obtido por medição. Pode ser isso que se pretende, mas tem todo o aspecto de ser resolvido algébricamente de forma a se encontrar o resultado matemático.

Por outras palavras, transformaste um problema de geometria analítica em geometria descritiva.

Podes simular isto recorrendo a código. 😄

Usando precisamente o método que eu lhe descrevi, que mais não é que aquacionação do método que descreveste.

[djthyrax]

O problema é que só tens o vector 1 -> 2 definido. Ou está a escapar-me algo?

[pedrotuga]

O problema é que só tens o vector 1 -> 2 definido. Ou está a escapar-me algo?

mmmm... acho que a forma mais facil de responder é resolver isto 😉

Substituindo nas minhas equações...

|(X3,Y3)-(X2,Y2)| = b

|(X3,Y3)-(X1,Y1)| = a

desenvolvendo um pouco mais usando o teorema de pitágoras para o cálculo da norma de um vector, ficamos com isto

( (X3 -X2)^2 + (Y3 -Y2)^2 )^0,5 = b

( (X3 -X1)^2 + (Y3 -Y1)^2 )^0,5 = a

Que mas não são que as equações das circunferencias que referiste

Resolvendo este sistema deves chegar a dois que são as duas interceções de entre duas circunferências.

A solução é a que obedece à condição

X2 < X3

pedrosorio, não são eqs tão complicadas, é simpelsmente a interceção de duas circunferÊncias

turkis... aqui tens.

[turkis]

Acabou de se fazer luz na minha tola. Sabendo que c é 1->2, e que b é 2->3 e a 1 -> 3, basta construires abrires o compasso em 2 com abertura b e traçares, abres em 1 com a de abertura, e traças. Onde eles se interceptam é o ponto 3.

Podes simular isto recorrendo a código. 😄

é precisamente assim que se faz, quando se desenha à mão. No AutoCad, uso outras ferramentas para abreviar o tempo, mas é precisamente o mesmo. nas peças mais simples tenho uns 36 triangulos, mas nas outras tenho bem mais...é por isso que quero fazer um programa para gerar código, é um trabalho chato e moroso :S

turkis... aqui tens.

obrigado 🙂 no fds vou ver isso 😉

[pedrosorio]

Eu disse é que quando explicitado em ordem a x3 e y3 dá uma complicação, eu sei perfeitamente quais são as equações a resolver, mas uma das duas soluções em ordem a x3 é a seguinte:

http://img231.imageshack.us/img231/5061/uiim5.th.jpg

Se calhar enganei-me a fazer o input, mas se as equações escritas em ordem a x3 e y3 são realmente assim tão curtas e simples, já alguém as devia ter postado este tópico.

[pedrotuga]

Não são tão curtas, são as equações da intercepção de duas circunferências. Até há outros métodos mais simples que agora não me lembro.

Acho que colocaste isso num programa que simplifica expressões algebricas, o que acontece é que as soluções nem sempre são apresentadas.

Nomeadamente, neste caso em que há duas soluções. Se não analisares uma de cada vez dá essa salgalhada que mostraste. É o caso típico.

São faceis de resolver, agora passa-las aqui usando apenas um formato de texto.... é uma dor de cabeça.

O nosso wiki por exemplo já permite o uso de fórumulas matemáticas, mas resolver estas equações excrevendo as fórmulas todas no computador é trabalho para duas horitas. Todos estamos prontos a ajudar... mas nem 8 nem 80.

Anyway, não é de todo complicado:

-eleva ambos os membros das equações ao quadrado

-desenvolve os quadrados dos binómios, cada equações fica com termos de ordem 2 quer em X3 quer em Y3, resolve em ordem a uma dessas com a fórmula resolvente, não é muito complicado. Escolhe apenas uma solução, a outra corresponde ao outro ponto de intercepção.

-Põe a outra equação no mesmo formato usando a fórmula resolvente e substitui pelo resultado obtido na primeira.

Não dá uma expressão simples, mas não é nada que se compare com essa complicação que aí poseste.

[pedrosorio]

Usei o Mathematica. Que devolve as duas soluções possíveis de X3 e Y3. Eu sei resolver simples equações algébricas =X. Chegaste a resolver?

"Não são tão curtas, são as equações da intercepção de duas circunferências. " - Quando me refiro a "se são tão curtas" estou a falar das expressões em ordem a X3 e Y3.

Acho que ficaste com a ideia errada, eu nunca disse que não percebia ou que duvidava do teu método de resolução, é evidente que está correcto, a minha dúvida está me se alguém sem experiência em matemática resolve sem mais nem menos estas equações, é que a probabilidade de erro ainda é grande.

Depois dos passos que indicaste, tendo resolvido em ordem a X3 ficas com duas expressões igualadas que dependem apenas de Y3 (e dos outros valores "conhecidos"). O problema está em que os Y3 estão dentro de raízes quadradas, e essas raízes quadradas são precedidas de valores que estão a somar (os -b da forma resolvente). Como é que isolas Y3?

[pedrotuga]

Eu vi bem que percebeste, só que meteste isso no matemática e concluiste precipitadamente que são cálculos demasiado complexos.

Estou aqui a falar sem resolver, se calhar se eu tivesse resolvido isto já tinha visto por mim mesmo :S, quando estiver aborrecido resolvo isto.

Anywya, o método que me ocorre é isolar a raíz e elevar a equação ao quadrado. Se não me está a escapar nada só há uma situação dessas que referiste.

[pedrosorio]

Pedro, se a equação é assim tão simples de resolver, e a expressão em ordem a x3 não é assim tão comprida, num pedaço de papel um de nós tê-la-ia resolvido num minuto e escrito a expressão final no fórum.

[ferpedes]

Bem, penso que para resolver isto matematicamente se faz assim:

Criamos duas circunferências: uma de centro (x2, y2) e raio b, e outra de centro (x1, y1) e raio a, ou seja:

((x-x2)^2)+((y-y2)^2)=b^2 e ((x-x1)^2)+((y-y1)^2)=a^2

Depois sabemos que x1<x3 e y3<y2

Agora metemos as duas equações de circunferência num sistema e achamos as suas interceptações: o ponto que tiver menos ordenada, é o ponto (x3,y3), portanto depois era só fazer os cálculos. Tentei fazer, mas dão contas muito chatas....

[pedrosorio]

Agora metemos as duas equações de circunferência num sistema e achamos as suas interceptações: o ponto que tiver menos ordenada, é o ponto (x3,y3), portanto depois era só fazer os cálculos. Tentei fazer, mas dão contas muito chatas....

Que dão contas chatas já nós sabemos =P

[turkis]

boas....

depois de questionar o meu prof de mat acerca deste problema, ele disse que a maneira mais óbvia para o resolver é a dos vectores, mas que eu com a matéria dada este ano tinha que também saber resolver...mas não me disse como, prefere antes que eu puxe pela tola...é por isso que adoro o meu prof...faz-me evoluir...

ora o que eu dei este ano foi trignometria, e peguei nela para fazer isto:

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http://img166.imageshack.us/img166/5288/trig2dx1.jpg

Edit: só agora é que reparei que está um X1 a mais... ?

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1ª com a ajuda do nosso amigo pitágoras calculei as medidas d e h.(sistema de 2 equações)

b^2=d^2+h^2    (=)h^2=b^2-d^2        (=)........                        (=)h^2=b^2-d^2

c^2=(a-d)^2+h^2   (=)c^2=a^2-2ad+d^2    (=)2ad=a^2+b^2-c^2       (=)d=(a^2+b^2-c^2)/2a

ou seja:

d=(a^2+b^2-c^2)/2a  ; h=srt(b^2-d^2)

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2º recorrendo à trignometria  calculei os angulos:

tan(α)=Co/Ca ;

α = Atan ((X2-X1)/(Y2-Y1))

β = Atan(h/d)

φ = pi/2-α-β

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3º mais trignometria...

sin(α)=Co/Hip  ; cos(α)=Ca/Hip

X3 = X1+b*cos(φ)

Y3 = Y1+b*sin(φ)

era isto que eu queria, sem grandes complicações de cálculo.

Ps:

fiz isto durante uma aula de química...a minha prof toda chateada disse que eu gosto mais de mat que química....o que é bem verdade...hehehe

posso ter errado em alguma coisa...corrijam-me pf.