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brink@ero

Problema de Estatística: 1 carro e 2 cabras

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brink@ero    0
brink@ero

Então ppl?

Tem andado tudo meio chocho...que se passa?

Quem pagou foram os fóruns mais pequenos como este da matemática.... buga afixai aí.... desentorpeçam esses dedos e teclem... digam coisas....

Já li os tópicos todos de matemática... :thumbsup:

A pedido do pedrotuga deixo aqui um novo problema bem conhecido de estatística (quem já estudou já conhece a solução).

Num concurso X existem 3 portas A, B e C. Atrás de cada uma das portas está uma cabra ou um carro e existem 2 cabras e 1 carro para as 3 portas.

O apresentador pede para o concorrente escolher uma porta e o que lá estiver o concorrente ganha!

Depois do concorrente escolher a porta B, o apresentador abre a porta C onde estava uma cabra e pergunta: "Mantem a escolha na porta B ou muda para a porta A?"

A questão é o seguinte:

O que deve o concorrente fazer? mantem ou muda de opinião?

Qual dos casos ele tem mais hipóteses de ganhar?

Qual a probabilidade de ganhar em cada um dos casos?

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pedrotuga    31
pedrotuga

eheheheh.... eu li "O mistério do bilhete de identidade e outras histórias" do jorge buesco ;)

Mas sim senhor... aí está um problema engraçado.

david... não é meio por meio. É impressionante mas não é, se não acreditares podes fazer um programa de computador simples que teste isso. Mas tens k ter muito cuidado com a geração de numeros aleatórios, que é um velho problema de qq programador.

Vamos esperar que mais ppl tente descobrir.

depois o brinka diz a resposta ;) que foi ele que iniciou o problema.

brinka... obrigado de qq forma :D

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David Pintassilgo    5
David Pintassilgo

Bom, então mas se eu precebi numa porta está uma cabra , noutra está outra cabra e noutra está o carro.

numa das portas ja se sabe que esta a cabra, as duas que restao uma tem o carro a outra tem a cabra. Ou seja, a porta que o concorrente escolheu ou tem a cabra e o carro esta na outra, ou ao contrario. Ou precebi mal o problema?

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brink@ero    0
brink@ero

Só existe uma interpretação

relembro

Depois do concorrente escolher a porta B, o apresentador abre a porta C onde estava uma cabra e pergunta: "Mantem a escolha na porta B ou muda para a porta A?"

ou seja:

1.º existem 3 portas, uma com um carro e as restantes com cabras

2.º o concorrente escolhe uma porta das 3 portas possíveis

3.º das duas portas que o concorrente não escolheu, o apresentador abre uma delas onde esta uma cabra

4.º o concorrente deve manter ou não a escolha da porta?

Mais não digo  ;) se não perde a piada

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David Pintassilgo    5
David Pintassilgo

;)

Não é nenhum problema de português ou assim, no qual a resposta advenha de uma interpretação diferente do enunciado?

É essa mesmo a minha duvida, pq não estou a ver MESMO onde poderá estar a difrenca entre as duas portas que sobram. Ai á gato de certeza....

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pedrotuga    31
pedrotuga

lol... exactamete o que eu pensei

Não há não... epá... este problema é mesmo díficil, acho que é o caso onde a palavra certa é mesmo "difícil" não é complicado, nem trabalhoso, nem confuso... é dificil.

Analiza bem o problema desde inicio.

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Guest plop   
Guest plop

Depois de uma rápida análise

Penso assim:

são três portas:

33.33 % de probablidade de calhar o carro

66.66 % de probablidade de calhar uma cabra

Após a escolha da porta C, penso assim:

Se uma das portas está fora de questão a C então:

50% de probablidade de calhar o carro

50% de probablidade de calhar a cabra

Por ética, acho que ao o apresentador ao fazer essa pergunta se quer ou não mudar de opinião, acho que é para meter alguma pressão sobre o concorrente..... logo aí penso que vai existir uma nova probablidade, a de mudança de opinião que na minha opinião tornar-se-ia assim: 75% de probablidade de mudar de opinião, 25% de manter. Logo penso que o carro se encontra na porta B.

Mas por se tratar de um problema matemático, não encontro outra teoria senão a minha primeira, a segunda teoria confesso que é um pouco absurda mas são as teorias matematicóplopistas.

cumps, se alguem pudesse dar umas pistas que contrariem as minhas teorias estaria-lhe muito grato, dado que tenho a certeza que estou equivocado.

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David Pintassilgo    5
David Pintassilgo

Ainda tou pra ver qual é a solução...  :dontgetit: :rant_01: se me sai dai alguma chalassa ou jogo de palavras,... grrrrr :mad:

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pedrotuga    31
pedrotuga

Ok... aqui vai.

vou utilizar a técnica inventada de forma inteligente pela tofas. Quem nao quiser ler nao leia... quem for curioso selecione o texto para ler  :)

[glow=black,2,300]as minhas desculpas ao brinca que iniciou o a thread... é para bem da comunidade ( estou a roubar-te a parte melhor :) )

Ora bem... a probabilidade de acerta caso nao se mude é: 1/3 e a probabilidade de se acertar quando se muda é de 2/3.

Não... não estou doido. Quando se escolhe a primeira porta tem-se uma probabilidade de 1/3 de acertar... até aqui todos estamos de acordo. Mas depois uma porta é deitada fora... sempre a que não tem o carro. Ou seja.. o problema resume-se a:

mantendo a porta temos uma probabilidade favorável de 1/3 pois tinhamos 3 portas à escolha.

mudando temos uma probabilidade favorável de 2/3 pois é a probabilidade do carro estar "numa das duas portas que nao escolhemos inicialmente". Não interessa em qual está pois o apresentador deita sempre fora a má.

Se não acreditarem facam simulem voces mesmo a experiencia com um programa de computador por exemplo. Ou entao convidem um amigo vosso e simulem o concurso...loooll têm é que o fazer diversas vezes para poderem ter uma boa amostra... vao ver que é 1/3 para 2/3.[/glow]

Quem diria ;)

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David Pintassilgo    5
David Pintassilgo

Já li a resposta mas continu-o sem preceber a logica disso, (aliás,.qual logica?)

uma das porta foi com o cão, pronto, fica fora da história! sobre 2 portas onde numa está o carro e na outra nao. meio por meio PRONTO!

...eu continuo na minha.....

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Guest plop   
Guest plop

Mas olha, se ele já só tem duas portas á escolha e só pode escolher uma, a probablidade resume-se a 1/2

1-caso favorável (número total de portas com carros)

2-casos possíveis (numero total de portas)

....com a tua explicação não fiquei muito convencido

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hma    0
hma

Este enigma é conhecido como "o paradoxo de Monty Hall".

Para analisar o problema do ponto de vista matematico temos de ter em conta que existe intervenção "exterior" no desenrolar da situação, dado que o apresentador nunca vai abrir a porta que contenha o premio (caso não tenha já sido escolhida pelo concorrente, claro).

Fiz uma pequena simulação e, apesar de a amostra ser pequena, os resultados foram bastante interessantes:

Em 34 situações de mudança de porta o carro foi ganho 17 vezes. (50% das vezes)

Em 34 situações de não mudança o carro foi ganho apenas 12 vezes. (35% das vezes)

Ou seja...

Não mudar de porta significa continuar fiel à escolha inicial, quando a probabilidade era de 33% (1 escolhida entre 3 possiveis). À partida quando se escolheu uma das portas havia 1/3 de probabilidade de ganhar o carro. Não existe razão absolutamente nenhuma para a probabilidade mudar quando o apresentador abre uma das portas que não têm premio. A simulação apontou para 35% nessa situação, o que se aproxima bastante do 1/3 esperado.

Mudar de porta significa deixar de parte a escolha inicial (e os 1/3 que ela representava), e voltar a fazer uma escolha, mas desta vez apenas entre 2 portas (agora com 1/2 de probabilidades cada uma de esconder o premio). Para este caso a simulação apontou para 50%.

:)

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David Pintassilgo    5
David Pintassilgo

o gajo ao escolher a porta tinha probabilidade de 1/3, ok,.. quando o aresentador abre uma das portas com a cabra automaticamente a probabilidade passa de 1/3 para 1/2. No momento em que o apresentador pergunta se quer trocar a probabilidade é essa mesmo, 1/2 Ponto Final.

Este problema faz-me lembrar a história do mosquito que bate no comboio e o comboio para. ou então o do atleta grego que nunca conseguiria apanhar a tartaruga pq ela partio uns metros á frente. Mas isso eu só consigo explicar pessoalmente porque nao sou lá grande coisa na minha espresão escrita. Se por acaso alguem souber do que estou a falar que esponha o caso aqui ao pessoal :)

edit:

As duas 'histórias' que estou a falar é mesmo algo desse genero, não era nenhuma piadinha ou boca fuleira, ninguem sabe mesmo do que estou a falar?

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pedrotuga    31
pedrotuga

A da tartaruga conheco, esse parodoxo foi resolvido com o conceito de limite.

Mas oh david... agora que o hma já deu mais uma axega... já percebeste?

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Guest plop   
Guest plop

então mas olha uma coisa, se o concorrente sabe que numa das portas está uma cabra, é óbvio que ele não a vai escolher!!! Ou seja só vão existir 2 opções, a porta A e a porta B, ou o gajo é tão burro que ainda põe em questão de escolher a porta C ??

edit: já percebi, custou mas percebi. Então na primeira escolha, o concorrente não sabe que na porta está a cabra, então ele aí escolhe a B, 1/3. Mas como ele depois sabe que na porta C está a cabra, se ele não mudar de opinião a sua probablidade mantém-se pois quando ele escolheu a porta B não sabia o que estava na porta C.

Mas se ele mudar de opinião.... esta parte da probablidade mudar para 2/3 (istro é a probablidade de acertar o carro ou na outra cabra??) é que ainda não percebi...

edit: edit: Lol, custou mas entendi tudo.... acho que sózinho não xegava a essa conclusão tive de ler praí 5 vezes as vossas respostas...

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brink@ero    0
brink@ero

Bem, como seria de esperar existe muitas opiniões e vou ser sincero eu antes de conhecer a solução eu era muito céptico sobre a opinião de muitos colegas meus que tinham a razão.

O que o pedrotuga respondeu está correcto.

E vou tentar demontrar isso por 4 maneiras.


Para começar, tentar explicar o problema e a solução:

Primeiro a probabilidade de acertar caso o concorrente não mude de opinião. Nesta situação o concorrente para ganhar, tem de acertar no carro logo a primeira!

Como existem 3 portas e só uma que tem o carro-> a probabilidade de acertar à primeira o carro é de 1/3.

O apresentador ao abrir uma porta não influencia na probabilidade porque este não muda de opinião, o concorrente mantém-se fiel a sua 1.ª escolha.

Agora a mais difícil de acreditar, a probabilidade de acertar caso mude de opinião. Se ele muda de opinião, quer dizer que a escolha final é diferente da primeira escolha!

Assim para ele ganhar, primeiro tem de escolher uma cabra, porque se ele escolher um carro e mudar de opinião->ele perde.

Se ele efectuar na 1.ª escolha a porta onde está a cabra, a outra porta que tem a cabra é aberta pelo apresentador. Assim se o concorrente mudar de opinião a única porta que ele tem disponível para escolha é a porta com o carro (se ele muda de opinião, ele não tem 2 casos possíveis mas sim 1, porque ele não pode manter a 1ª escolha)

Então se ele muda de opinião e se a 1ª escolha foi uma porta com a cabra-> ele ganha.

Como a probabilidade de acertar na 1ª escolha na cabra é de 2/3 então a probabilidade de ganhar mudando de opinião é de 2/3


Para quem ainda não acredita, vou dar um exemplo bem crítico.

Têm um baralho com 52 cartas. Se escolherem o as de espadas ganham.

Escolhem uma carta ao acaso, depois o apresentador tira 50 cartas que não tem o as de espadas e pergunta manténs ou mudas de opinião?

Definitivamente não é 50/50 nem 0,2/50, mas sim P=1/52 de acertar se mantiveres a resposta e 51/52 se mudares de opinião (mesmo raciocínio explicado anteriormente).

Por isso se mudares de opinião, quase de certeza ganhas (98%), se mantiver tens poucas hipóteses de ganhar (2%).


Fica aqui a dedução matemática:

Existem 2 acontecimentos

A - Acertar na primeira escolha

M - Mudar de opinião e acertar

legenda:

^ - o operador e (intersecção de acontecimentos)

| - o operador condicionado

A - negação do acontecimento

1.ª escolha

P(A)=1/3

P(A)=2/3

2.ª escolha

a) sabendo que acertou na 1.ª escolha

P(M|A)=0 (impossível porque se ele acertou na 1.ª escolha se ele mudar de opinião é impossível ele acertar outra vez)

P(M|A)=1 (se ele mantém a opinião-> ele acerta, acontecimento certo)

b) sabendo que falhou na 1.ª escolha

P(M|A)=0 (se ele não acertou na 1.ª e não muda de opinião->é impossível ganhar)

P(M|A)=1 (se ele não acertou e muda de opinião-> ganha, acontecimento contrário ao do anterior)

como a P(X^Y)=P(X|Y) x P(Y)

e P(X)=P(X^Y) + P(X^Y)

Então:

P(M^A) = 0 x 1/3 = 0

P(M^A) = 1 x 2/3 = 2/3

[glow=green,2,300]P(M) = 2/3[/glow]

P(M^A) = 1 x 1/3 = 1/3

P(M^A) = 0 x 2/3 = 0

[glow=green,2,300]P(M) = 1/3[/glow]


Agora o programa para simular:

#include <ctime>    // para time()
#include <cstdlib>  // para srand() and rand()
#include <iostream>
#include <fstream>

using namespace std;

int main()
{
int			n_porta_carro,
			n_porta_cabra,
			i, k,
			escolha_do_conc,
			n_muda=0,
			n_mantem=0,
			count=0,
			aux;
char		porta[3];
ofstream	outputfile("resultados.txt");

// O gerador interno de numeros aleatorios, para nao obter sempre os mesmos sorteios
srand(time(0));

for (k=0; k<10000; k++)
{
	outputfile<<"************ caso "<<k<<" ************"<<endl<<endl;

	// Onde fica o carro
	n_porta_carro=rand()%3;

	outputfile<<" Carro esta na posicao: "<<(char)(n_porta_carro + 'A')<<endl;

	// Preencher as portas
	for (i=0; i<3; i++)
	{
		if (i==n_porta_carro)
			// a - de automóvel
			porta[i]='a';
		else
			// c - de cabra
			porta[i]='c';
	}

	// Escolha do concorrente
	escolha_do_conc=rand()%3;

	outputfile<<" A primeira escolha do concorrente: "<<(char)(escolha_do_conc + 'A')<<endl;

	// Numero de casos
	count ++;

	// O apresentador abre uma porta que tem a cabra
	if (porta[escolha_do_conc]=='a')
	{
		// O concorrente escolheu a porta com o autmovel
		// Entao o apresentador tem duas portas disponiveis para abrir
		switch(escolha_do_conc)
		{
			case 0:
				n_porta_cabra=rand()%2+1;
				break;
			case 1:
				n_porta_cabra=(rand()%2)*2;
				break;
			case 2:
				n_porta_cabra=rand()%2;
				break;
		}
	}
	else
	{
		// O concorrente escolheu a porta com uma cabra
		// Entao o apresentador abre a outra porta onde esta a cabra
		n_porta_cabra=3-escolha_do_conc-n_porta_carro;
	}

	outputfile<<" O apresentador abre a porta: "<<(char)(n_porta_cabra + 'A')<<endl;

	if (porta[escolha_do_conc]=='a')
	{
		// O concorrente que mantem ganha
		n_mantem++;
		// A nova escolha do concorrente que muda e' a porta que falta
		escolha_do_conc=3-n_porta_cabra-escolha_do_conc;
		outputfile<<" A nova escolha do concorrente que muda de opiniao: "<<(char)(escolha_do_conc + 'A')<<endl<<endl
				<<"O concorrente que manteve a opiniao -> ganhou!!"<<endl
				<<"O concorrente que mudou de opiniao  -> perdeu!!"<<endl;
	}
	else
	{
		// Entao porta[escolha_do _conc]='c' e' uma cabra
		// A nova escolha do concorrente e' a porta que falta
		escolha_do_conc=3-n_porta_cabra-escolha_do_conc;
		outputfile<<" A nova escolha do concorrente que muda de opiniao: "<<(char)(escolha_do_conc + 'A')<<endl<<endl
				<<"O concorrente que manteve a opiniao -> perdeu!!"<<endl;
		if(porta[escolha_do_conc]=='a')
		{
			// O concorrente que muda de opiniao ganha
			n_muda++;
			outputfile<<"O concorrente que mudou de opiniao  -> ganhou!!"<<endl;
		}
		else
			// Ninguem ganha
			outputfile<<"Ninguem ganhou ganhou!!"<<endl;
	}
}

outputfile<<endl<<endl
		<<"**************************************"<<endl<<endl;

// Resultado final
outputfile<<" Numero de casos testados = "<<count<<endl;
outputfile<<" Numero de casos em que quem manteve de opiniao ganhou = "<<n_mantem<<endl;
outputfile<<" Numero de casos em que quem mudou de opiniao ganhou = "<<n_muda<<endl;

return 0;
}

e resultado final:

Numero de casos testados = 10000

Numero de casos em que quem manteve de opiniao ganhou = 3324

Numero de casos em que quem mudou de opiniao ganhou = 6676

O que dá a seguinte frequência relativa:

fr(mater de opinião e ganhar) = 33,24 aprox = 1/3

fr(mudar de opinião e ganhar) = 66,76 aprox = 2/3


Espero ter convencido todos :thumbsup:

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David Pintassilgo    5
David Pintassilgo

Mas oh david... agora que o hma já deu mais uma axega... já percebeste?

Eu preceber precebi logo, mas continu-o na minha. "...quando o aresentador abre uma das portas com a cabra automaticamente a probabilidade passa de 1/3 para 1/2." Agora se estatisticamente falando e mais na sei o que isso é difrente é pá,.. ok. Ficamos como o outro da tarturuga,..vai dar ao mesmo.

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