brink@ero Posted January 30, 2006 at 11:11 PM Report Share #13007 Posted January 30, 2006 at 11:11 PM Este problema deixou varios indivíduos da minha turma a pensar durante a época de exames. Ninguem conseguiu (nem eu) encontrar a solução sozinho!! Por isso vou partilhar este problema com vocês: Em casa de Timóteo há uma sala rectangular, que tem o chão coberto de quadrados. Um dos lados contém 93 quadrados e o outro 231. Timóteo traça uma linha recta unindo os dois cantos opostos. Quantos quadrados atravessa essa linha? Link to comment Share on other sites More sharing options...
vbmaster Posted January 31, 2006 at 05:14 PM Report Share #13037 Posted January 31, 2006 at 05:14 PM 250? Link to comment Share on other sites More sharing options...
brink@ero Posted January 31, 2006 at 05:23 PM Author Report Share #13041 Posted January 31, 2006 at 05:23 PM nop 😛 (falta quadrados 😉) Link to comment Share on other sites More sharing options...
vbmaster Posted January 31, 2006 at 05:27 PM Report Share #13043 Posted January 31, 2006 at 05:27 PM Pois... só fiz um simples torema de pitágoras... ou seja, uma resolução à parva... o número que me deu 249,01 é no fundo o comprimento da diagonal em lados de quadrado, mas não o número de quadrado atravessados.. tásse... 😉 Link to comment Share on other sites More sharing options...
saramgsilva Posted January 31, 2006 at 07:09 PM Report Share #13051 Posted January 31, 2006 at 07:09 PM bem eu tambem resolvia da mesma maneira...inicialmente... mas claro que faltam quadrados... seja r a medida do lado do quadrado... entao a medida da diagonal do quadrado é (2*r^2)^(1/2)= r*2^(1/2)... sabemos que a sala tem 93*r de largura e 231*r de comprimento... a diagonal mede 249,018*r . mas entao se fizermos ( 249,018*r/ r ) * (r*2^(1/2)) isto é 249,018*r*2^(1/2) obtemos o numero de quadrados... isso vai rondar +/- assim por alto uns 280 a 285 quadrado... bem acho que nao disse disparates...fiz isto a correr..mas ainda vou confirmar... www.saramgsilva.com As minhas apps no WP7 Marketplace Youtube : Galinho - Windows Phone 7.5 Link to comment Share on other sites More sharing options...
brink@ero Posted January 31, 2006 at 07:23 PM Author Report Share #13056 Posted January 31, 2006 at 07:23 PM Não dá pelo teorema de pitágoras... 😉 Por exemplo: Chão de 1000 por 1000, sabe-se que a diagonal atravessa 1000 quadrados! Pelo o teorema de pitágoras n.º de quadrados = 1000 x 2^(1/2) aprox = 1414!! Link to comment Share on other sites More sharing options...
saramgsilva Posted January 31, 2006 at 07:36 PM Report Share #13059 Posted January 31, 2006 at 07:36 PM nao!! mentira...nao pode...é que nao pode mesmo... hummm vou pensar... 😉 www.saramgsilva.com As minhas apps no WP7 Marketplace Youtube : Galinho - Windows Phone 7.5 Link to comment Share on other sites More sharing options...
theproject Posted January 31, 2006 at 07:43 PM Report Share #13061 Posted January 31, 2006 at 07:43 PM a minha opiniao é 279, k é basicamente o GCD entre 231 e 93 multiplicado por 93. Nao sei se ta certo mas kurtia saber.. Na pior das hipoteses tenh de fazer um prog para os contar um a um.. ? cya [] Ja vi k o meu metodo ta mal... lool... eskecam isto... Link to comment Share on other sites More sharing options...
vbmaster Posted January 31, 2006 at 08:55 PM Report Share #13070 Posted January 31, 2006 at 08:55 PM Em 31/01/2006 às 20:36, tofas disse: nao!! mentira...nao pode...é que nao pode mesmo... hummm vou pensar... 😛 É lógico o que ele disse... da maneira que estás a fazer tofas, e eu que eu inicialmente também fiz, estás a calcular quantos lados de quadrado cabem na diagonal... ora é claro que o valor é grande... e...não responde ao problema.,.. 😉 Link to comment Share on other sites More sharing options...
brink@ero Posted January 31, 2006 at 09:24 PM Author Report Share #13074 Posted January 31, 2006 at 09:24 PM a minha opiniao é 279, k é basicamente o GCD entre 231 e 93 multiplicado por 93. Nao sei se ta certo mas kurtia saber.. Na pior das hipoteses tenh de fazer um prog para os contar um a um.. ? cya [] Ja vi k o meu metodo ta mal... lool... eskecam isto... Se tentares fazer o programa, talvez encontres a solução 😉. Não desistam... a solução é simples, por isso se surgir uma teoria muito complicada... esqueçam essa teoria! Link to comment Share on other sites More sharing options...
theproject Posted January 31, 2006 at 09:34 PM Report Share #13076 Posted January 31, 2006 at 09:34 PM A resposta é 323 ... certo? espero k sim.. eu escrevi a mao a formula pa resolver isto e depois fiz um programa k somava tudo... se tiver certo expliko. ab [] Link to comment Share on other sites More sharing options...
edumad Posted January 31, 2006 at 10:01 PM Report Share #13079 Posted January 31, 2006 at 10:01 PM Tava eu a escrever isto e apareceu: A resposta é 323 ... certo? espero k sim.. eu escrevi a mao a formula pa resolver isto e depois fiz um programa k somava tudo... se tiver certo expliko. ab [] Eu acho que são 321 quadrados. A sala é assim: __________ 93 | | |_________| 231 Sabemos que num quadrado ou conjunto de quadrado (que formem 1 quadrado) teremos a diagonal a cruzar exactamente nos vértices. Como 93 e 231 são ambos divisiveis por 3 e por mais nenhum numero (31 é primo), a recta passaria pelos vertices (do rectangulo global) e por dois pontos onde encontraria os vértices comuns dos rectangulos internos (estes rectangulos tem 31x77). Como 231/93=77/31=2.483871..., a recta passaria por 2 quadrados (na vertical) a cada ~=3 quadrados na horizontal, portanto há 93 destes pontos, mas visto que apenas 93-3 é que correspondem realmente à passagem por dois quadrados, o resultado será 231+90=321. A explicação não é grande coisa, mas acho que está certo. Link to comment Share on other sites More sharing options...
brink@ero Posted January 31, 2006 at 10:46 PM Author Report Share #13086 Posted January 31, 2006 at 10:46 PM Eu acho que são 321 quadrados. Está certo :cheesy: Sabemos que num quadrado ou conjunto de quadrado (que formem 1 quadrado) teremos a diagonal a cruzar exactamente nos vértices. Como 93 e 231 são ambos divisiveis por 3 e por mais nenhum numero (31 é primo), a recta passaria pelos vertices (do rectangulo global) e por dois pontos onde encontraria os vértices comuns dos rectangulos internos (estes rectangulos tem 31x77). Exactamente, ou seja, o n.º de quadrados que atravessa a diagonal no chão 231 x 93 = 3 x (o n.º de quadrados que atravessa a diagonal no chão 77 x 31) Como 231/93=77/31=2.483871..., a recta passaria por 2 quadrados (na vertical) a cada ~=3 quadrados na horizontal, portanto há 93 destes pontos, mas visto que apenas 93-3 é que correspondem realmente à passagem por dois quadrados, o resultado será 231+90=321. Sinceramente, não percebi... :ohwell: Para ter a certeza e se fosse 256 x 729 :knuppel2: (maximo divisor comum é 1) Link to comment Share on other sites More sharing options...
theproject Posted January 31, 2006 at 11:43 PM Report Share #13092 Posted January 31, 2006 at 11:43 PM eu nao fiz assim e plos vistos enganeime em 2 quadrados.. o keu fiz foi pegar na equacao da recta y(x) = (93/231)x e depois para cada quadrado na horizontal intersectei a recta com as 2 linhas verticais k delimitam o quadrado, ie, calculei o y(x) e o y(x+1) para todos os x inteiros entre [0,92], se virem bem vao ver k o numero de quadrados intersectados nessa coluna é a diferenca entre y(x+1) - y(x) se fizerem o tecto e o floor de cada um e fizerem essa diferenca davos o numero de quadrados intersectados nessa coluna. se somarem isso tudo tem os quadrados por onde passa.... agora porque razao me enganei em 2 quadrados n sei.. talvez sejam erros de arredondamento visto k usei floats... Link to comment Share on other sites More sharing options...
brink@ero Posted February 1, 2006 at 12:32 AM Author Report Share #13097 Posted February 1, 2006 at 12:32 AM Deixa-me ver se compreendi bem. Dividiste um chão em 231 colunas e calculaste em cada coluna quantos quadrados intersectava, certo? E a fórmula que usaste foi y(x-1) - y(x) para calcular o n.º de quadrados em cada coluna, certo? Bem, isso não é verdade, porque imagina que para um determinado x dá y(x+1)=10.5 e y(x)=9.5, logo y(x+1)-y(x)=1 quadrado, mas na verdade são dois! Acho que é ai que falhou os 2 quadrados... A solução é simples, a ideia das colunas é boa, agora o n.º de quadrados em cada coluna não é assim (caso eu tenha intendido bem...). Link to comment Share on other sites More sharing options...
theproject Posted February 1, 2006 at 01:06 AM Report Share #13098 Posted February 1, 2006 at 01:06 AM a ideia e essa mas eu explikeime mal, falta ai o chao( y(x) ) e o tecto( y(x+1) ) k sao funcoes k arredondam para o inteiro mais proximo para baixo ou para cima correspondentemente, nesse casso daria tecto(10.5)=11 ; chao( 9,5) =9 e portanto 11-9 =2 isto funciona porke mesmo no caso de ser so um kuadrado, digamos 9,1 e 9,8 o primeiro aplikase o chao dá 9 , o outro aplicase o tecto dá 10 e a diferenca é como seria de esperar 1... eu explikeime mal, mas foi isso k fiz num ciclo FOR a kalkular o somatorio 😉 Alias esta tao certo k de facto vi agora k eram erros de arredondamento como suspeitava. mudei tudo o k era floats para doubles e deume 321 . Este metodo nao e propriamente o mais eficiente mas e o mais interessante do ponto de vista de programacao (digo eu) ... ta aki o codigo em C... #include <stdio.h> #include <stdlib.h> #include <math.h> int contaQuads(int larg,int alt){ double declive; double temp=0; int i; declive=(double)alt/(double)larg; for(i=0 ; i<larg ; i++){ temp+= ceil( ((declive*((double)(i+1))) ) - floor( (declive*(double)i)) ) ; } return (int)temp; } int main(){ printf("%d\n",contaQuads(231,93)); system("PAUSE"); return 0; } cya later [] Link to comment Share on other sites More sharing options...
edumad Posted February 1, 2006 at 09:21 PM Report Share #13152 Posted February 1, 2006 at 09:21 PM Na minha resolução recorri apenas a lógica e fiz tudo mentalmente. Eu sei que há pelo menos 231 quadrados, mais um quadrado extra por cada ponto onde a diagonal intercepta a horizontal (y= um numero inteiro, i=1,2,3,...93), sendo que para esse ponto o numero correpondente na linha dos x seria um valor irracional. Como os dois numeros são ambos divisiveis por 3 e por mais nenhum numero (para além do 1, o que dá em nada), existem 3 pontos (para além de (0,93) claro) onde uma horizontal num numero inteiro de y resulta num x tb inteiro. São os pontos: (77,62), (154,31) e (231,0). Acho que não se continua a perceber... mas eu também não quero ser prof de matemática 😉 Link to comment Share on other sites More sharing options...
saramgsilva Posted February 7, 2006 at 05:46 PM Report Share #13513 Posted February 7, 2006 at 05:46 PM Acho que não se continua a perceber... mas eu também não quero ser prof de matemática 😛 pois..eu tambem nao kero...gosto muito de math, mas axo k se fosse dar aulas o ppl sofria mto comigo...lolol sou mto exigente... 😞 www.saramgsilva.com As minhas apps no WP7 Marketplace Youtube : Galinho - Windows Phone 7.5 Link to comment Share on other sites More sharing options...
brink@ero Posted February 7, 2006 at 11:58 PM Author Report Share #13527 Posted February 7, 2006 at 11:58 PM Bem, eu desde novo era 'om' em matemática. Por isso todos iam ter comigo para eu explicar as coisas. Então ganhei uma aptidão para explicar (sou explicador de disciplinas de matemática). A capacidade de explicar permite que os outros entendam o teu raciocínio. Então fica aqui a solução: Depois de efectuar a divisão pelo máximo divisor comum (3), obtemos que: o n.º de quadrados que a diagonal atravessa em 231 x 91 = 3 x (n.º de quadrados que a diagonal atravessa em 77 x 31 Agora sigamos a linha recta de um canto ao outro. Verifica-se que atingimos sempre um novo quadrado cada vez que atravessa uma aresta (linha vertical ou hrizontal). Mas é conveniente não contar duas vezes os quadrados atingidos por um canto, em que a linha atravessa o mesmo tempo uma linha vertical e uma linha horizontal. Então como existem 77 + 31 linhas e partindo de um canto só encontramos outro no fim da linha diagonal, porque dividos pelo máximo divisor comum! Logo, o n.º de quadrados que a diagonal atravessa em 231 x 91 = 3 x (77 + 31 - 1) = 321 quadrados Link to comment Share on other sites More sharing options...
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