30 respostas a este tópico

[Localhost]

Olá pessoal. Precisava aqui de uma ajudinha para resolver um exercício que diz o seguinte:

Citar

- Determina os vectores coliniares com o vector u(-1,2) que têm norma 10;

Como é que eu posso fazer isto?
Obrigado desde já...

Edit: Por favor, tentem explicar para eu perceber.  :biggrin:

[Tharis]

1. Escreves uma equação geral para os vectores colineares do vector dado.
2. Escreves a equação do cálculo da norma de um vector.
3. Igualas a expressão da norma a 10 usando a equação geral para os vectores colineares.

Se não conseguires, avisa que meto cá a resolução.

[Localhost]

Já fiz. Vou postar aqui para veres se está correcto:

Código (C):

(x,y) = P + k(-1,2) , k € IR
(x,y) = P + (-k,2k)

<=> sqrt((-k)^2 + 2k^2) = 10
<=> (sqrt((-k)^2 + 2k^2))^2 = (10) ^ 2
<=> k^2 + 2k ^ 2 = 100
<=> 5k^2 = 100
<=> k^2 = 100÷5
<=> k = sqrt(20)
<=> k = 2.sqrt(5)

E depois disto? O que faço com o valor do k?

Edit: O que eu fiz com o valor do k foi substituir na expressão:
Código (C):

k(-1,2)
<=> 2.sqrt(5) (-1,2)
<=> (-2.sqrt(5), 4.sqrt(5))

Deu-me esse vector. Está correcto ou nem por isso?
E só mais uma coisa. Como é que eu sei que o vectores são coliniares antes de resolver tudo? Porque é que eles são coliniares se eu multiplicar o k na equação vectorial? É por serem multiplos? Não percebi muito bem essa parte...

[Tharis]

É exactamente isso!

Colinear significa na mesma linha, sou seja, têm a mesma direcção.

Um vector é diferente de um escalar, na medida em que o último não possui nem direcção nem sentido.

Ao se multiplicar o vector por um valor K qualquer, não alteras a direcção do vector, mas sim a magnitude! Ou seja, estás a esticar o vector K vezes, que podes entender, como tu disseste, por um múltiplo (atenção é que K pode não ser inteiro como te deu no exercício).

Se o valor K for negativo, então o novo vector tem a mesma direcção, mas sentido oposto ao primeiro.


Percebeste?

Cumps

[Localhost]

Ah ja entendi essa parte.
Vê se este raciocinio está correcto: eu estou a "esticar" o vector K vezes e depois igualo a norma do vector esticado K vezes à norma pretendida para calcular o K.
É isso?

Cumps¹ 

[Tharis]

Exactamente!

Já agora, outra maneira de visualizares é pensar na multiplicação do vector pelo escalar K também como uma soma de K vectores desses.

Tipo: k(a, = (a,_1 + (a,_2 + ... + (a,_k

Ou seja, metes k vectores iguais uns à frente dos outros e soma-los.

[Localhost]

Ah!
Não tinha percebido isto...
Vou fazer aqui uns exs. se tiver dúvidas posto aqui.

[offtopic] Foste tu que ficaste em 2º lugar numas ONI? [/offtopic]

[Localhost]

Tharis, fiz aqui mais dois exercícios, podias-me ver se estão correctos?

Citar

­2. Num referencial o.n.(0,i,j), considera os pontos A(a, e B(1,-1). Considera ainda o vector u=3i+4j.
2.1 ­Determina a e b de modo que A=B+2u.
2.2. Determina um vector com o sentido contrario ao do vector u e com norma igual a 15.

As minhas resoluções:
2.1. Código (C):

A = B + 2u
A = (1,-1) + 2(3,4)
A = (1+6,-1+8)
A = (7,7)

2.2. Código (C):

-k(3,4)
<=>(-3k,-4k)
<=>sqrt((-3k)² + (-4k)²) = 15
<=>(sqrt(3k² + 16k²)² = 15²
<=>9k² + 16k² = 225
<=>25k² = 225
<=>k² = 225÷25
<=>k² = 9
<=>k = 3

-3(3,4)
u(-9,-12)

[Localhost]

Bem fiz mais um exercício. Este vai ser um bocadinho dificil de postar a resolução mas vou tentar.

Citar

2.3 Escreve a equaçao vectorial da recta r, que contem o ponto A e tem direcçao de u. Determina o ponto de intersecçao r com o eixo das abcissas.

Considerei aqui que o ponto A é o mesmo determinado anteriormente:
Código (C):

(x,y) = (7,7) + k(3,4) , k € IR

Intersecção com o eixo das abcissas:
Código (C):

(x,0) = (7,7) + (3k,4k)
<=>(x = 7+3k) ^ (0 = 7 + 4k)
<=>(x = 7+3k) ^ (-7 = 4k)
<=>(x = 7+3k) ^ (-7÷4 = k)
<=>(x = 7+3(-7÷4) ^ (-7÷4 = k)
<=>(x = 7 - 21÷4) ^ (-7÷4 = k)
<=>(x = 7÷4) ^ (-7÷4 = k)

P´(7÷4,0)

Aqui o ^ está no sentido de intersecção, ou seja, é um sistema de equações.

Cumps 

Edit: Fica agora aqui o último exercício:

Citar

­2.4. Escreve a equaçao reduzida da recta s que é paralela a r e passa pelo ponto B.

Resolução:
Código (C):

<=> y = 4÷3× + b
<=> -1 = 4÷3 + b
<=> -1 - 4÷3 = b
<=> -7÷3 = b
<=> y = 4÷3× - 7÷3

Pronto, terminam aqui os exercícios. Vê-me se estão certo por favor.

Obrigado desde já pela paciência, Localhost 

[Tharis]

Parece-me tudo bem!

Só há uma coisa que o 2.2 me fez lembrar e que também afecta o exercício da colinearidade.

x^2 = y não é equivalente a x = sqrt(y), mas sim x = sqrt(y)  v  x = -sqrt(y). Percebeste?
(-2)^2 = 4, no entanto, sqrt(4) = 2

E por isso é que no enunciado vinha "determine os vectores colineares" aka no plural.


No exercíco 2.2 não tens de fazer então, -k, mas sim k pois k é um número real qualquer (positivo, negativo, nulo). E só quando tiras o quadrado é que tens de colocar + ou - e depois justificas a escolha do menos com a mudança de sentido.


Cumps

[Localhost]

Sim, ele pode ter dois valores porque o resultado vai ser sempre o mesmo, o facto de serem sempre colineares (o meu prof. escreve coliniares, daí eu ter escrito mal várias vezes lolz).
Mas só uma coisa, se K fosse nulo eles não eram colineares porque o declive ia ser sempre 0 correcto?

[Tharis]

Eles não eram colineares porque um vector nulo não tem direcção (e consequentemente sentido).

[Localhost]

Mas eu ao multiplicar por zero não estou na verdade a aumentar o vector 0 vezes? Então ele não deveria ficar igual? Claro que em termos matemáticos percebesse imediatamente que não; mas tem lógica no meu ponto de vista.

[Tharis]

Ok, deixa-me pôr de outra maneira. Ao multiplicares por um valor K estás a aumentá-lo K-1 vezes, ou seja, pegas em K-1 vectores e mete-los uns à frente dos outros.

[Warrior]

Tal como quando tens um número e multiplicas por 0 não estás a aumenta-lo 0 vezes, é igual com vectores.

[Localhost]

Ah, já percebi.
Agora tenho outra dúvida. Eu quando tenho a equação reduzida de uma recta, como é que posso tirar um vector director da mesma?

Edit: Lolz, agora senti-me burro. Com a equação reduzida podemos determinar quaisquer pontos pertencentes à recta, já temos um aliás, que é o (0, a partir daí basta pegar noutro ponto (o ponto que vou pegar para me facilitar a vida vai ser o ponto de intersecção da recta com o eixo das abcissas) e subtrair normalmente.

Juro que não percebo como não sabia isto imediatamente 

[Tharis]

Quando tens a equação reduzida da recta da forma y = mx + b, em que m = delta_y / delta_x, logo, para tirares um vector director da recta basta fazeres o vector (delta_x, delta_y).

[Localhost]

Quando dizes Delta referes-te ao intervalo, correcto? Para isso preciso de tirar dois pontos.

Só uma coisa, existia outra maneira de resolver o meu primeiro problema:
1. Calculava a norma do vector que tinha
2. Aplicava esta expressão: k.||u|| = 10

Também dava acho eu 

[Tharis]

Não precisas de tirar dois pontos. Refiro-me a um intervalo sim, só que esses intervalos já foram calculados. Estão incluídos no declive da recta m. Se tiveres a recta y = 4/3 x + 8, então o vector director será (3, 4), percebeste?

Esse segundo processo também me parece bem.

[Localhost]

Ah, sim! O meu prof falou disso. Uma recta tem uma infinidade de vectores directores certo?

É este o exercício:

Citar

Considere a recta s de equação 3y = 2x-3

a. Indique o declive e um vector director da recta
b. Escreva uma equação vectorial da recta
c. Determine a ordenada na origem de s
d. Determine a abcissa na origem de s
e. Indique dois pontos da recta s
f. Determine o ponto de s que tem abcissa 1
g. Calcula m de modo que o ponto (m,1-m) pertença a s

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