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Como mostrar que uma função é contínua


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6 respostas a este tópico

#1 Nazgulled

Nazgulled

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Publicado 27 de Abril de 2009 - 20:08

Tenho a seguinte função para mostrar que é contínua, mas não faço ideia de como se faz isto. Podem-me explicar com os passinhos todos se faz favor?

Imagem Colocada

P.S: Eu sei que estou a ser chato com problemas de matemática, mas tenho bué dificuldades com isto e tenho teste na quarta-feira :/

#2 pedrotuga

pedrotuga

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Publicado 27 de Abril de 2009 - 20:39

Uma função definida em R^2 é contínua num ponto, se os limites à esquerda e à direita tendem para o valor da função nesse ponto.
Visto não ser dito nada em relação ao ponto, penso que é para calcular a contínuidade em todos os pontos, ou seja, em todo o seu domínio.

O limite da soma é igual à soma dos limites, como tal, a soma de funções contínuas num determinado intervalo, é uma função contínua. Posto isto, só tens que analisar cada uma das três funções.

A primeira é uma função polinomial de grau 1 em y, pelo que por definição é contínua para todos os valores de Y, e como o seu valor não depende de X então é contínua em todo oos pontos de R^2.

A segunda é uma função seno de x que temabem é contínua em R por definição. IDEM dependencia de Y.

A última é uma função poninomial de grau 4 em X e Y que tambem é contínua.

São todas contínuas em R2, então a função f é contínua em R2

#3 Nazgulled

Nazgulled

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Publicado 27 de Abril de 2009 - 21:02

Eu agradeço a tua ajuda mas isso para mim é só "lenga-lenga matemática" a qual eu não percebo nada e quanto mais me explicam dessa forma, menos eu percebo.

E não creio (a não ser que seja a única forma porque eu não pesco nada disto e não sei se estou a dizer alguma coisa mal) que esse tipo de justificação seja suficiente, preciso de algum desenvolvimento analítico para justificar se é ou não contínua.

#4 Rui Carlos

Rui Carlos

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Publicado 27 de Abril de 2009 - 23:46

Há várias propriedades que podes usar.
As funções constantes ou polinomiais são contínuas. A soma, produto ou composição de funções contínuas também é contínua. Há também uma propriedade que te permite concluir sobre a continuidade de funções em R^n a partir da continuidade de funções em R. Entre muitas outras. Deves ter alguns apontamentos com as propriedades que podes assumir como válidas, não?

Nesse exemplo:
- ye^2 é uma função polinomial, logo é contínua.

- seja h(x)=sin x e g(x)=1.
Ambas são obviamente contínuas em R (também deves ter propriedades que te permitam assumir isto).
Como f(x,y)=sin x=h(x).g(y), f(x,y) é também contínua.

- (xy)^4 é polinomial, logo é continua.

Como a função f é a soma de funções contínuas, ele própria é contínua.

Cálculo já lá vai há uns anos  :P, e já não tenho isto bem presente, por isso não se admirem se tiver dito alguma asneira. E claro, isto é apenas um rascunho da prova. Num exame convém ser um pouco mais completo.

#5 Nazgulled

Nazgulled

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Publicado 28 de Abril de 2009 - 00:03

O meu problema é mesmo esse das propriedades... Eu não consigo acompanhar nada das aulas porque o prof está a fazer um exercício e a meio divaga e começa a escrever no outro lado do quadro a explicar outros pormenores e eu baralho-me todo. Isto para mim precisa de ser resolvido de forma linear e explicando-me os passos todos ou eu não chego lá :X

Depois, ele não explica nem escreve nada de forma que a gente possa ficar com um caderno organizado com as propriedades definidas e a matéria explicada, é tudo a balda e eu não consigo acompanhar assim... E depois, a página da cadeira também não tem nada, nem teoria, nem exercícios resolvidos, nada..

Isto é cálculo II e em I no 1º semestre (profs diferentes) havia uma prof que ainda pegava nas fichas TODAS e resolvia os exercícios todos e isso ajudava-me bastante e eu já percebia melhor do assunto. Sem um base dessas, isto é de mais para o meu cérebro...

Mas acho que já estou a perceber mais ou menos o que estão a dizer sobre este exercício... Tenho é dúvida noutros mais "complexos"... Se calhar vai para um tópico diferente... Se entretanto me puderem ajudar na dos limites que é um pouco mais importante, eu agradecia.

#6 pedrotuga

pedrotuga

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Publicado 29 de Abril de 2009 - 18:57

Ver MensagemNazgulled, em 28 de Abril de 2009 - 00:03, disse:

O meu problema é mesmo esse das propriedades... Eu não consigo acompanhar nada das aulas porque o prof está a fazer um exercício e a meio divaga e começa a escrever no outro lado do quadro a explicar outros pormenores e eu baralho-me todo. Isto para mim precisa de ser resolvido de forma linear e explicando-me os passos todos ou eu não chego lá :X

Depois, ele não explica nem escreve nada de forma que a gente possa ficar com um caderno organizado com as propriedades definidas e a matéria explicada, é tudo a balda e eu não consigo acompanhar assim... E depois, a página da cadeira também não tem nada, nem teoria, nem exercícios resolvidos, nada..

Isto é cálculo II e em I no 1º semestre (profs diferentes) havia uma prof que ainda pegava nas fichas TODAS e resolvia os exercícios todos e isso ajudava-me bastante e eu já percebia melhor do assunto. Sem um base dessas, isto é de mais para o meu cérebro...
Isso faz toda a direrença. As cadeiras com bons apontamentos fazem-se que é um relax. A única coisa que se pedia aos professores era que fossem competentes e que fizessem o trabalho deles. Infelizmente, menos de metade o fazem ;)

De qualquer das formas, o melhor é mesmo tentar perceber isto naturalmente, o paleio da praxe acaba por chegar com a pratica.
Uma função contínua, usando uma definição _muito_ empírica é uma função que pode ser traçada em todo o seu domínio sem levantar a ponta da caneta.

Agora imagina uma função que é a soma de duas outras funções contínuas, se pensares bem, podes sempre traça-la sem levantar a caneta.

Citar

Mas acho que já estou a perceber mais ou menos o que estão a dizer sobre este exercício... Tenho é dúvida noutros mais "complexos"... Se calhar vai para um tópico diferente... Se entretanto me puderem ajudar na dos limites que é um pouco mais importante, eu agradecia.
Já olhei para eles e ainda comecei a escrever mas estava a ir no caminho errado e parei :s talvez hoje a noite resolva um e depois tiro uma fotografia à folha.

#7 Nazgulled

Nazgulled

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Publicado 29 de Abril de 2009 - 19:12

Já não vale a pena... O teste foi hoje e correu demasiado mal...

As únicas coisas que fiz foi mesmo limites e continuidade, mas eram um pouco diferentes dos exercícios que fiz enquanto estudava e não sei se estarão certos.

De resto, saíu tudo menos o que eu sabia :/