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Factorização


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24 respostas a este tópico

#1 msr

msr

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Publicado 12 de Dezembro de 2007 - 02:40

Olá,

Nao sei se factorização é o nome da minha duvida. A minha duvida consiste em separar uma função em fracções simples.
Dou dois exemplos que tenho aqui e que gostava de perceber:
Imagem Colocada
Com que critério é que "desmontamos" a função daquela maneira, de forma a obtermos varias fracções com A,B,C,etc no numerador?
Em seguida como é que foram calculadas as constantes?


No enunciado deste exemplo está a função: 6(s^4+10s^2+9)^-1
[img width=750 height=215]http://img266.imageshack.us/img266/9613/semttulo2yb4.jpg[/img]
Novamente, como é que é feita a separação em fracções simples e como é que sao calculadas as contantes?



Desde ja obrigado por qualquer esclarecimento que me possam dar :(

#2 JoaoRodrigues

JoaoRodrigues

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Publicado 12 de Dezembro de 2007 - 03:31

Muito vagamente do meu primeiro ano, as constantes são determinadas resolvendo sistemas. Agora não te posso detalhar. E factorização é outra coisa diferente.

#3 msr

msr

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Publicado 12 de Dezembro de 2007 - 03:51

Pois tinha ideia que factorização nao era bem isto.
Sabes-me dizer o nome em concreto deste metodo? (talvez assim conseguisse encontrar alguma info na net)

A matéria em questão sao as Transformadas de Laplace, em que é necessario decompor a função para obter fracções "conhecidas" (tabeladas).

#4 saramgsilva

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Publicado 12 de Dezembro de 2007 - 13:48

boas,

primeiro acho que deves ser mais especifico com o que apresentas, onde foste buscar esses exemplos?
Eu olho para isso, e á primeira vista, parece que isso tem a ver com cálculo integral, nomeadamente "Primitivação por decomposição"

Citar

A decomposição é uma técnica de primitivação de funções racionais que consiste
em decompor em fracções elementares de primitivação imediata ou quase
imediata a função racional que se pretende primitivar.


e nesse caso queriam primitivar 1/ ( s^2 -1 )^2 e o que vão fazer é simplificar e decompor!E se analisarem é vem que o que estou a dizer é verdade!

reparem: (s^2 - 1)^2 = [ (s^2-1)^2 ]* [(s^2+1)^2)}, isto para justificar:

1/ (s^2 - 1)^2 = 1/ [ (s^2-1)^2 ]* [(s^2+1)^2)] , o resto que é feito e que penso que é o que pretendem que seja explicado, tem a ver com aplicação de uma técnica própria para decompor, antes de primitivar, que não dizer como é, já não me lembro...  :(
E espero já ter elucidado em algo!

bom trabalho
tofas

#5 JoaoRodrigues

JoaoRodrigues

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Publicado 12 de Dezembro de 2007 - 13:51

Hmm.. eu dei isso dei, a Análise II no primeiro ano :( Mas já não me lembro de quase nada muito francamente.

Procura no google por "filetype:pdf Laplace Transforms". Apareceram bastantes slides de aulas a explicar. Talvez te ajudem!

#6 pedrotuga

pedrotuga

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Publicado 12 de Dezembro de 2007 - 14:17

As constantes são calculadas usando o método dos coeficientes indeterminados aplicado à primeira equação que afixaste.
Depois de aplicar esse método ficas com um sistema de equações lineares que podes resolver usando o teu método preferido.
Em alternativa, porque é mais rápido podes usar a 'regra do tapa' que é um pouco complicado explicar aqui assim por escrito. Mas o primeiro método funciona sempre.

Isto não é factorização. Isto é a transformação de uma equação com denominador polinomial numa soma de equações com denominador binomial. O objectivo é chegares a expressões que sejam faceis de integrar e usares a propriedade linear da integração ( a soma dos integrais é igual ao integral da soma )

#7 pedrosorio

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Publicado 12 de Dezembro de 2007 - 14:35

Isto é matéria de Cálculo1 ou Análise1/2... Serve em primeiro lugar para a primitivação mas é também útil nas transformadas de Laplace em que se conhece a identidade: L(e^(at)) = 1/(s-a).
Ah, e chama-se, decomposição de função racional em soma de fracções simples.

Eu podia estar aqui a explicar, mas acho que se fores a este site: http://www.dmat.ufba.br/mat042/aula6/aula6.htm
deves conseguir perceber.

#8 msr

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Publicado 12 de Dezembro de 2007 - 15:13

Obrigado pela vossa ajuda! pedrosorio esse link ta muito bom. Encontrei tambem um pdf que a partir da pagina 18 esta porreiro: http://claymore.engineer.gvsu.edu/~jackh/books/model/chapters/laplace.pdf

O que eu nao percebo é mesmo o método que tem os A's e B's. Supostamente ja o devia ter dado/aprendido uma vez que tambem é util para a resolução de integrais. Apesar de ja o ter usado em algumas situaçoes simples nunca cheguei a perceber bem como funcionava. Agora preciso dele para calcular inversas de transformadas de laplace que é uma matéria que se dá em "Análixe Complexa e Equacoes Diferenciais", que não é mais do que um Cálculo III, que por sua vez corresponde à antiga AMIV :biggrin:

Ainda nao consegui perceber uma coisa. Não percebo quando aparece por exemplo As+B ou Cs+D no numerador, como no 2º exemplo que dei ali em cima. No link que o pedrosorio arranjou está uma explicação, mas muito confusa, nao consegui perceber... Alguem me sabe dizer qual é o critério com que aquele As+B e Cs+D aparece ali no 2º exemplo que dei (por ex)?

Mais uma vez obrigado!

#9 msr

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Publicado 12 de Dezembro de 2007 - 17:25

Bem ja percebi que quando tenho no denominador um polinómio do genero (s^2 + 1), isto é que tem raizes de grau 2, nesses casos tenho de usar o As+B (so assim consigo determinar o valor das letras [coeficientes?]). No entanto esta forma de raciocinar não me parece muito científica... Se alguem souber explicar isto de uma maneira mais precisa eu agradecia!

#10 pedrotuga

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Publicado 12 de Dezembro de 2007 - 19:03

A razão não é essa. Deves usar esse binómio no numerador em vez de uma constante quando tens um par de raízes complexas. Agora não me lembro da razão mas penso que é mesmo para facilitar as coisas. Se puseres as raízes complexas no denominador acabas por ter que andar a multiplicar números complexos, o que pode ser mais trabalhoso.

Caso tenhas um polinómio de grau dois com raízes reais então deves  separar as raízes de forma a que fique:
( x - a )( x - b )
onde a e b são as raízes.

Algum divertimento extra se tiveres tempo:
Separa as raízes todas mesmo que sejam complexas e resolve usando as regras que usas para o caso em que só tens raízes reais. Compara os resultados. Se forem iguais... entao escolhe o método que preferires. Se forem diferentes investiga onde está a diferença.

#11 pedrosorio

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Publicado 12 de Dezembro de 2007 - 22:42

Já agora msr... Isso está a cheirar-me a IST... Estou certo?

#12 msr

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Publicado 12 de Dezembro de 2007 - 23:25

pedrosorio estás com bom olfacto! Estou no 2º ano de MEEC. E por aí?

Ainda não consegui atinar com o bixo. Entretanto também cheguei á conclusão que os tais "As+B" se usavam quando se tem polinómios com raízes complexas.
No entanto apareceu-me outro exercício à frente não percebo como é que fazem esta passagem: http://img443.imageshack.us/img443/1943/92815831nf1.jpg

Tentei alguns passos, mas nenhuns me foram dar a este resultado... O máximo que consegui fazer esta nesta folha (mega-rascunho): http://img147.imageshack.us/my.php?image=asdwy5.jpg

Aliás, entretanto reparei que fazendo (s^2+2s+2) = (s + 1)^2 +1 talvez me pudesse ajudar. Tentei fazer assim, mas não consegui. Devo ter feito qualquer coisa mal, mas não sei o quê. http://img81.imageshack.us/my.php?image=123se0.jpg

#13 msr

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Publicado 12 de Dezembro de 2007 - 23:40

Epa o que vale é que eu esclareço-me a mim mesmo Imagem Colocada

A 2ª resolução que fiz no meu "mega-rascunho" está certa. Na equação final esqueci-me foi de por lá o C. Isto, tendo em conta (s^2+2s+2) = (s + 1)^2 +1 vai dar igual ao que aparece na imagem.

Mas já agora, conseguem perceber o que correu mal na segunda folha que scanei?

Obrigado pela ajuda!

#14 pedrosorio

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Publicado 13 de Dezembro de 2007 - 01:08

Agora não estou com paciência para ver isso mas ya, aqui 2º ano de engenharia biomédica  Imagem Colocada

EDIT: Bem, sinceramente não estou a perceber qual é o método de resolução que estás a usar, porque basicamente estás-te a lixar para pôr sinais diferentes para as igualdades e para as equivalências  Imagem Colocada Mas de qualquer forma não estou a ver que ajude muito pôr s^2+2s+2 = (s+1)^2+1... Se tens no denominador um s (raíz real simples) e um s^2+2s+2, pq é q n te limitas a usar o método A/s + (Bs+C)/(s^2+2s+2)? Como sabes somar fracções o método resume-se a pô-las com igual denominador, e ficas com um grande numerador: "A*(s^2+2s+2) + (Bs+C)*s" que tem que ser igual a 1. Ora isto simplifica pondo as potências de s em evidência para: "s^2*(A+B) + s*(2A+C) + 2A = 1", daqui retiras que: A+B=0, 2A+C=0, 2A=1, pelo que A=1/2 e sai directamente das outras que B=-1/2 e C=-1. Sendo assim ficas com: 1/(2s) + (-0.5*s - 1)/(s^2+2s+2), e depois sim, como eles são uns meninos, para obter a igualdade que lá está usas s^2+2s+2=(s+1)^2+1, e ficas com... ora porra... agora dá-me exactamente igual mas tinha era que haver uns parêntesis nessa imagem a seguir ao 1/2...  :hmm: Bah... Vou mas é dormir  Imagem Colocada

Em vez de ir dormir resolvi usar o almighty Mathematica, e Ele deu-me a resposta... a minha solução está correcta... Experimenta substituir um valor de s de um lado e do outro da igualdade e vais ver que tenho razão...

#15 msr

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Publicado 13 de Dezembro de 2007 - 03:31

É isso mesmo! Tens toda a razão. Disse o que disse no meu ultimo post, mas so tinha resolvido a coisa a olho e pensei que assim fosse dar igual ao que ta na imagem :confused: Alem de nao dar igual, tinha-me enganado a calcular o valor de C [fiz "s*(A+C)" em vez de "s*(2A+C)"].

Entretanto voltei a resolver isto e fiz tal e qual como disseste. Ou seja, os gajos têm isto mal resolvido! (é tão bom detectar erros nas resoluções que o IST nos entrega muahah)
Atribuí um valor ao s e pude comprovar isso mesmo.

Como isto é um problema de Transformadas de Laplace dá jeito fazer (s^2+2s+2) = (s + 1)^2 +1. No entanto há uma fracção que fica com apenas "s" no numerador. O que fiz foi somar e subtrair 1, e assim já temos fracções conhecidas para se fazer a inversa da transformada. yey! done.

Obrigadão pela ajuda!

#16 pedrosorio

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Publicado 13 de Dezembro de 2007 - 10:20

Volta sempre  :confused:

#17 vbmaster

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Publicado 13 de Dezembro de 2007 - 18:44

Também reconheci no que aprsentaste o método por nós utilizado (daqui LEIC 1º ano IST :confused:) para seguidamente poder primitivar funções racionais.

#18 pedrosorio

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Publicado 13 de Dezembro de 2007 - 23:46

Oh rapazes, não se armem em espertos, este método não é "do IST". Está bem que o Introdução à Análise Matemática do Campos Ferreira é muita boa e tal... Mas calma lá que esta coisa já existe há um tempinho bom  :confused:

#19 djthyrax

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Publicado 13 de Dezembro de 2007 - 23:50

Ver Mensagempedrosorio, em 13 de Dezembro de 2007 - 23:46, disse:

Oh rapazes, não se armem em espertos, este método não é "do IST". Está bem que o Introdução à Análise Matemática do Campos Ferreira é muita boa e tal... Mas calma lá que esta coisa já existe há um tempinho bom  :confused:
Ele disse que era o método que eles usam, não disse que era o que só eles usavam. :P

#20 pedrosorio

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Publicado 14 de Dezembro de 2007 - 00:07

Eu sei, mas parecia, estamos em família tb sou do IST estava no gozo  :confused: