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ruiguedes

problema com a velocidade de uma escada

16 mensagens neste tópico

Uma escada com 3m de comprimento está encostada a uma parede vertical. Se a base da escada deslizar horizontalmente afastando-se da parede a uma velocidade constante de 0,3m/s, a que velocidade está o cimo da escada a deslizar ao longo da parede?

:hmm:

pensem....

um abraço

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aos mesmos 0.3m/s... ao fim de10 segundos, a base da escada está a 3 metros da parede e, consequentemente, o topo da escada estará assente no chão... logo, nesses 10 segundos, desceu 3 metros, o que dá 0.3m/s...

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aos mesmos 0.3m/s... ao fim de10 segundos, a base da escada está a 3 metros da parede e, consequentemente, o topo da escada estará assente no chão... logo, nesses 10 segundos, desceu 3 metros, o que dá 0.3m/s...

mas isso é a velocidade média...

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aos mesmos 0.3m/s... ao fim de10 segundos, a base da escada está a 3 metros da parede e, consequentemente, o topo da escada estará assente no chão... logo, nesses 10 segundos, desceu 3 metros, o que dá 0.3m/s...

mas isso é a velocidade média...

Uma escada com 3m de comprimento está encostada a uma parede vertical. Se a base da escada deslizar horizontalmente afastando-se da parede a uma velocidade constante de 0,3m/s, a que velocidade está o cimo da escada a deslizar ao longo da parede?

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Uma escada com 3m de comprimento está encostada a uma parede vertical. Se a base da escada deslizar horizontalmente afastando-se da parede a uma velocidade constante de 0,3m/s, a que velocidade está o cimo da escada a deslizar ao longo da parede?

a velocidade é constante mas é a da base, a velocidade a que o cimo da escada desliza acho que não vai ser constante.

ao fim de 5s a base deslocou-se 1,5m mas o cimo apenas se deslocou 0,4m. nos restantes 5s o cimo vai-se deslocar 2.6m. logo a velocidade não é constante.

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Se fizermos o esquema e marcarmos distâncias iguais no eixo do xx, onde a base da escada se encontra, vemos que o topo não mantém iguais distâncias e portanto que a velocidade da escada aumenta à medida que a escada cai.

Procurem no google "falling ladder paradox" e vejam o que encontram.

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uma dica:

posso dizer que a escada atinge uma velocidade infinita! :eek:

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uma dica:

posso dizer que a escada atinge uma velocidade infinita! :eek:

A relatividade de Einstein não te permite isso! ;)

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tb eu pensava assim..., mas...

resolução:

a relação existente entre x (chão) e y (parede) em qualquer instante do intervalo de [0,10]s é  X.X+Y.Y=9........... pus x.x e y.y pk nao sei por o quadrado...

sabemos que X'(t)=0,3 m/s

queremos saber Y'(t), que é a velocidade a que a escada desliza pela parede

derivando temos 2XX'+2YY'=0 <=> y'=-X/Y.X' <=> Y'=-0,3.X/Y

Y'(0)=-0,3*0/3=0

Y'(10)=-0,3*3/0=-infinito

a menos de sinal a velocidade com que a escada desliza pela parede começa por ser zero e vai até infinito

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O que acontece é que a escada abandona a parece antes de chegar ao fundo, ou seja, existe uma "altura crítica" y até onde esse raciocínio é válido, e portanto nunca teremos um Y(10).

Embora n tenha mt rigor científico, se fizerem algumas experiências verificam isso mesmo, cada vez que a escada cai ela já está um pouco afastada da parede.

Mas como disse antes, procurem no Google: "Falling ladder paradox" e devem encontrar alguns trabalhos sobre o assunto que mencionam a tal altura crítica.

;)

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na verdade, penso que a velocidade instantânea vai ser a derivada da função que descrever a diferença entre a altura na parede a que a escada se encontrava originalmente( 3 metros ) e a altura em que a escada vai estando na parede ao longo do tempo.

A altura a que se encontra a escada na parede é basicamente um cateto dum triangulo rectangulo cuja hipotenusa é o comprimento da escada (3m) e a base é dada pela funcao( 0.3t)

assim sendo, pelo teorema de pitagoras  a altura que se encontra a escada é dada pela funcao:

..depois das contas feitas..

h=sqrt(9-(0.3*x)^2)

A distancia que a escada avançou, é então dada pela altura inicial menos a "altura final", ou seja:

h=3-sqrt(9-(0.3*x)^2)

A velocidade instantanea será dada pela derivada desta função (que determinei com um programa de computador pork nao sei as regras todas das derivadas)

v=-(-(0.3)*2*(0.3*x))*(1/2)*(9-(0.3*x)^2)^((1/2)-1)

E de facto confirma-se que quando chega aos 10 segundos a velocidade é teoricamente infinita..

Acho que não me enganeipodem testar as funçoes aki

http://www.univie.ac.at/future.media/moe/fplotter/fplotter.html

E definitavamente a velocidade nao é constante lol

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Eu concordo com isto:

uma dica:

posso dizer que a escada atinge uma velocidade infinita! :eek:

Fiz um script em Python, que acho que toda a gente vai perceber, e se não perceber é só perguntar.

No script:

1. A altura inicial a que está o topo da escada é de 3 metros, ou seja está encostada e consequentemente, a distância a que está o fundo da escada da parede é de 0 metros;

2. Partindo do Teorema de Pitágoras, se a parede é vertical, então:

    comprimento da escada ^2 = distancia do fundo da escada à parede ^2 + altura do topo da escada na parede ^2

# TESTE PARA 10^-6 segundos

from math import sqrt

list_of_alt=[3] # Altura a que esta' o topo da escada encostado 'a parede
list_of_vel=[0] # Velocidade a que desceu de segundo para segundo
times=0 # Numero de 10^-6 segundos que demora ate a escada estar no chao

a=3.0 # Altura inicial quando a escada esta' toda encostada
dist=0.0 # Distancia inicial quando a escada esta' toda encostada

# Enquanto altura nao for 0 e tempo nao for 10s
while a>0 and times!=10000000:
times+=1 # Numero de 10^-6 segundos

        # comp^2 = dist^2 + a^2 <=> a = sqrt( comp^2 - dist^2 ) <=>
a=sqrt(9-pow(dist,2)) # a = sqrt( 9 - dist^2 )

list_of_alt.append(a) # Altura -> Lista de Alturas
list_of_vel.append((list_of_alt[-2]-list_of_alt[-1])*1000000) # Vel -> Lista de Velocidades (*1000000)=por segundo

dist+=0.0000003 # Distancia por 10^-6 segundo

print "Distancia Final="+list_of_alt[-1]+" metros"
print "Velocidade Final="+list_of_vel[-1]+" metros por segundo"

Cheguei à conclusão lá de cima, pois, comecei com segundos, depois fiz o teste para décimos de segundo, para centésimos, milésimos, 10^-4 e depois passei logo para o 10^-6 que tem um prefixo qualquer que não me lembro nem quero ir ver (se calhar é o micro, ou não).

A cada vez que reduzia o intervalo de tempo, a altura final a que ficava a escada do chão quando atingíssemos os 10 segundos era cada vez menor, por isso, até podiam fazer para o fentosegundo (10^- muitos) que a distância nunca igualaria 0.

BTW, o código demora um bocado a correr e é fazer favor :cheesygrin:

Anyway, se encontrarem algo mal no meu raciocínio ou código digam, mas acho que não me enganei.

Cumps

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Este problema tem algo a ver com o tópico dos "astronautas" que surgiu agora, na medida em que resultados como "a escada atinge uma velocidade infinita!" são fruto de aproximações incorrectas que para a maioria dos problemas dão resultados bons mas em alguns casos estão completamente erradas.

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O que se pode dizer é que Y(x) tende para -infinito quando x se aproxima de +infinito. No entanto, como a escada vai ter que se separar da parede a algum ponto, a velocidade não poderia ser dada apenas pelo 0.3x mas teria que ser estudada a queda em função da aceleração da gravidade (e o atrito da ponta inferior da escada no chão, que se pode desprezar).

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