• Revista PROGRAMAR: Já está disponível a edição #53 da revista programar. Faz já o download aqui!

fnds

Determinar a soma de uma série convergente (limite da série)

7 mensagens neste tópico

Como é que determino a soma deste série?

serie.gif

Eu sei que dá 2 mas não consigo lá chegar :x

0

Partilhar esta mensagem


Link para a mensagem
Partilhar noutros sites

O máximo que consegui fazer foi expandir a soma em coisas do tipo 1/x, e é possível ver conseguimos obter os valores 2*1/2, 2*1/4, 2*1/8, 2*1/16, ..., ou seja, dá a entender que essa série é igual a 1/2^n, para n em {0,1,2,...}, que é uma série geométrica, e é fácil de concluir que a sua soma é 2. No entanto não consegui provar que a soma de ambas as séries são efectivamente iguais.

0

Partilhar esta mensagem


Link para a mensagem
Partilhar noutros sites

Como é que se usa Latex no fórum?

Eu transformaria isso numa série de séries. Se reparares aquilo que fazes é 1/2 + 2 * 1/4 + 3 * 1/8, etc. Isto pode ser descrito como uma série de séries, i.e. (1/2 + 1/4 + 1/8 + ...) + (1/4 + 1/8 + ...) + (1/8 + ...).

Isto significa que a série que escreveste é exactamente igual a:

[tex]\sum_{i=1}^{+\infty} \sum_{k=i}^{+\infty}(1/2)^k[/tex]                        (1)

Interessa agora converter esta série de séries em algo cujo valor consigamos determinar. Temos que:

[tex]\sum_{k=i}^{+\infty}(1/2)^k =\sum_{k=0}^{+\infty}(1/2)^k-\sum_{k=0}^{i-1}(1/2)^k[/tex]

A primeira parcela é uma série de potências que vale 2, enquanto o segundo termo é o somatório de i termos de uma progressão geométrica e vale 2 * (1 - (1/2)^i) = 2 -  (1/2)^{i-1}. Pelo que:

[tex]\sum_{k=i}^{+\infty}(1/2)^k=2-(2-(1/2)^{i-1})=(1/2)^{i-1}[/tex]                  (2)

Substituindo (2) em (1):

[tex]\sum_{i=1}^{+\infty}(1/2)^{i-1} = \sum_{i=0}^{+\infty}(1/2)^i[/tex]

Que é novamente a nossa conhecida série de potências = 2.

0

Partilhar esta mensagem


Link para a mensagem
Partilhar noutros sites

Obrigado pelas respostas. Quanto ao latex no forum instalei um mod que usa um servidor externo para processamento, isto provavelmente vai deixar de dar mas ate lá vou ver se arranjo algo melhor.

Usem [ tex] [/tex]

0

Partilhar esta mensagem


Link para a mensagem
Partilhar noutros sites

Crie uma conta ou ligue-se para comentar

Só membros podem comentar

Criar nova conta

Registe para ter uma conta na nossa comunidade. É fácil!


Registar nova conta

Entra

Já tem conta? Inicie sessão aqui.


Entrar Agora