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demon28

[Ajuda] Nº de raízes de uma equação

10 mensagens neste tópico

Eu tenho uma dúvida que precisava de ver esclarecida urgentemente, vou ter exame de Cálculo e esta questão sai sempre mas não sei como resolve-la. A questão é:

Mostre que a equação x^30 - 30x -1 = 0

possui exactamente duas raízes reais distintas.

Alguem sabe como resolver esse problema, acho que com o teorema de rolle ou bolzano (valor médio) dá para resolver mas não sei como.

Agradeço toda a ajuda.

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Podes usar um método gráfico para localizar as raízes ou então usar o método da secante ou de Newton.

No método gráfico, sabes que as raízes dessa função, chamemos-lhe f(x), se encontram em f(x)=0. Se conseguires separar essa função em 2 mais fáceis de representar, g(x) e h(x), podes encontrar as raízes de f(x) nos pontos onde g(x) intersecta h(x), isto é, onde g(x)=h(x).

Para esse caso:

x^30 - 30x - 1 = 0 <=> x^30 = 30x + 1

<=> x^30 = g(x) e 30x+1 = h(x)

g(x) é uma parábola com uma curvatura do caraças e h(x) é uma recta oblíqua com declive positivo, logo sabes que vai intersectar a parábola em 2 pontos, que vão ser as raízes de f(x). Bastava depois representares graficamente.

Tens também o método da secante e o método de Newton.

Não sei se é esta a resposta, eu dei isto em Métodos Numéricos, não sei se a solução para Cálculo é a mesma.

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f(x) = x^30 - 30x -1

f(-1) = (-1)^30 - 30*(-1) - 1 = 61 > 0

f(0) = -1 < 0

f(2) = (2)^30 - 30*2 -1 > 0

Pelo teorema do valor intermédio (Bolzano) e dado que f é contínua em R, existe um c€]-1,0[ tal que f©=0, e existe um d€]0,2[ tal que f(d)=0. Ou seja, existem pelo menos duas raízes reais.

Para mostrar que existem apenas duas raízes reais podemos calcular f ':

f ' (x) = 30 * x^29 - 30 = 30 (x^29 - 1)

f ' (x) tem claramente um e um só zero em x=1.

Por outro lado, o teorema de Rolle diz-nos que se tivermos a e b tais que f(a) = f(:) então existe um x € ]a,b[ tal que f '(x)=0.

Assim, se f possuísse mais um zero, por exemplo g < c então teríamos necessariamente um x € ]g,c[ tal que f ' (x ) = 0. Isto é, f ' teria dois zeros, mas como vimos tem apenas 1 (a demonstração é análoga para os casos c<g<d e g>d).

No caso geral temos que se a nossa função f tem n zeros, então f ' terá pelo menos n-1 zeros, pelo que f não tem mais do que 2 zeros (nem menos, como demonstrado acima).

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pedrosorio essa equação tem de dar duas raizes reais foi um exercicio de exame não pode dar só 1 =S

Tenta ver porque te deu 1

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Bem me parecia que eu estava a inventar.  :biggrin:

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pedrosorio essa equação tem de dar duas raizes reais foi um exercicio de exame não pode dar só 1 =S

Tenta ver porque te deu 1

Relê o que eu escrevi. Eu demonstrei que f tem duas raízes reais. Comecei por mostrar que tinha pelo menos duas. E depois mostrei que (como f '  apenas tem um zero), f só podia ter no máximo duas raízes reais, concluindo assim a demonstração.

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Podes usar um método gráfico para localizar as raízes ou então usar o método da secante ou de Newton.

No método gráfico, sabes que as raízes dessa função, chamemos-lhe f(x), se encontram em f(x)=0. Se conseguires separar essa função em 2 mais fáceis de representar, g(x) e h(x), podes encontrar as raízes de f(x) nos pontos onde g(x) intersecta h(x), isto é, onde g(x)=h(x).

Para esse caso:

x^30 - 30x - 1 = 0 <=> x^30 = 30x + 1

<=> x^30 = g(x) e 30x+1 = h(x)

g(x) é uma parábola com uma curvatura do caraças e h(x) é uma recta oblíqua com declive positivo, logo sabes que vai intersectar a parábola em 2 pontos, que vão ser as raízes de f(x). Bastava depois representares graficamente.

Tens também o método da secante e o método de Newton.

Não sei se é esta a resposta, eu dei isto em Métodos Numéricos, não sei se a solução para Cálculo é a mesma.

Uma parábola com uma curvatura do caraças =P

Repara que uma recta não intersecta necessariamente uma parábola em dois pontos (claro que se fizermos a representação gráfica vemos que isso acontece neste caso).

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Hum.. ok já percebi a demonstração.

Já agora esclarece-me uma coisa para ver se eu estou a fazer confusão.

O que é um zero e uma raíz real? Qual é a relação entre o zero e a raíz real?

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Um zero ou uma raíz são exactamente a mesma coisa, são os objectos pertencentes ao domínio de uma função tais que as suas imagens são 0. Dizer que são reais significa apenas que estamos a falar de números reais.

(Isto porque o teorema fundamental da álgebra diz que um polinómio de grau n tem n raízes complexas - algumas das quais podem ser reais, no caso que apresentas, das 30 raízes complexas, 2 não têm parte imaginária, i.e. são reais)

Mas não te preocupes muito com esta história dos reais e dos complexos porque em cálculo I lidas apenas com análise matemática real.

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