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joxnas

Numeros em escada

7 mensagens neste tópico

Sao numeros do tipo: n+(n+1)+(n+2) ....

por exemplo

7+6+5=18  é um numero em escada

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2+1=3 é um numero em escada

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1-Que numeros se formam com dois e tres degraus?

2-Que números nao sao numeros em escada?

3-Que numeros tem apenas uma unica representaçao em escada possivel?

(prova as conclusoes que tirares)

Fiz uma actividade assim ha pouco tempo e achei engraçado...

Façam-na voces, se quiserem e postem aqui os resultados.. e outras conclusoes(curiosidades) que consigam tirar

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1:

Infinitos: todos os multiplos de 3 (para três degraus) e todos os numeros impares (2 degraus)

2:

todos tem representação (se não há restrições para o n e para o num. de degraus)

3:

Numeros primos apenas têm representação grau 2

A formula genérica é  Num = grau * n + soma(1...n-1)

E nunca tinha ouvido falar de números em escada.. Quem é que se lembrou disto?

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Nao percebi muito bem a tua formula genérica :) nem a 3ªa resposta

mas posso-te dizer que  a tua 2ªa resposta esta incorrecta.

E já agora podias provar as conclusoes que retiraste em relação à primeira.. ;)

Nao sei quem é que se "lembrou" disso dos numeros em escada... mas é algo que ja se fala ha muito tempo..

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tens a certeza que tá incorrecta a 2ª?

Repara que eu disse: se não há restrições... 4 = 4, escada de grau 1  ;)

a 3ª:

um num primo tem a representação sempre do tipo n+(n+1), bastando ser n=(num-1)/2. que esta é a única representação, amanhã penso em derivar a prova (ou se calhar provar que estou errado)

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ahhh. tens razao, esqueci-me de dizer que o nº de degraus tem de ser superior a 1

e o n superior a 0

e ambos sao numeros inteiros, ja agora xD

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Quando me refiro à representação tou a dizer por exemplo:

o 9 pode ser representado por

5+4

ou 4+3+2

ou seja tem duas representaçoes possiveis

nao sei se entendeste isso. se entendeste entao eu é que nao te estou a entender...

é certo que um primo tem representação 2n+1, mas qualquer ímpar tem.

por exemplo 9 =2*4+1

e 9, como já foi visto pode-se escrever de mais de uma forma

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Seja k o número de degraus, e i o número mais baixo usado na soma, a função

f:N\{1}*N->N

f(k,i)=k(i+i+k-1)/2=k(i+(k-1)/2)

diz-nos o valor que está associado a k e i.

Olhando para a fórmula, percebemos directamente que, para um k ímpar, é possível obter todos os múltiplos de k, excepto os (k-1)/2 primeiros. O n-ésimo elemento até ao (k-1)/2-ésimo elemento pode ser obtido com n*2 degraus. Será f(n*2,(k-1)/2-n+1).

Temos assim que, para n>1, ímpar:

n*m=f(n,m-(n-1)/2), se m>(n-1)/2

n*m=f(m*2,(n-1)/2-m+1), caso contrário

(Fazendo a expansão de f é fácil concluir que o resultado é efectivamente n*m)

Resumindo, é possível obter qualquer número que seja múltiplo de um número ímpar (excepto o um).

Por redução ao absurdo, também se prova facilmente que dois pares diferentes (n1,m2) e (n2,m2) vão corresponder a valores diferentes (n,m-(n-1)/2) ou de (m*2,(n-1)/2-m+1), i.e., o valor de n1*m1 pode ser sempre obtido de uma forma diferente de n2*m2.

Penso que os únicos números que não podem ser representados desta forma são aqueles que só podem ser factorizados em números pares, i.e., as potências de 2. Qualquer outro número, ou é primo (e com representações de dois degraus obtemos todos os números ímpares excepto o 1, logo estão incluídos todos os números primos excepto o 2), ou pode ser escrito como um produto de um par por um ímpar, sendo assim um múltiplo de um ímpar, que, como vimos acima, pode ser representado. Temos assim provado que "não é potência de 2 => ter representação"

Para demonstrar a outra parte da implicação ("não é potência de 2 <= ter representação"), basta ter em conta que, se k é ímpar, k(i+(k-1)/2) terá como factor o k (que assumimos ser ímpar), e quando k é par:

k(i+(k-1)/2)

=2m(i+(2m-1)/2)  //se k é par, m=k/2 é inteiro

=m(2i+2m-1)

e 2i+2m-1 é sempre um número ímpar (pois m é inteiro), i.e., qualquer número obtido pela fórmula k(i+(k-1)/2) tem um factor ímpar, logo não é potência de 2.

Os números do tipo p*2^n, com p primo e diferente de 2, e n>=0, só têm uma representação. Os outros têm mais do que uma representação, pois serão sempre múltiplos de mais do que um número ímpar.

Se não me enganei em nada, acho que é isto.

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era mesmo isso :)

Até a tua forma de resolver e provar, supondo que k é ou não par foi identica à minha :P e chegaste às mesmas conclusoes do que eu.

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