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wrproject

Como calcular volumes com integrais triplos

3 mensagens neste tópico

Ola,

alguém podia explicar-me qual a lógica utilizada para calcular o volume dum objecto no espaço usanmdo integrais triplos?

Por exemplo,como montava o integral para a expressão abaixo da pergunta a) ?

analisehj7.png

Cumps,wrproject.

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Ops, pensei que tinha respondido a isto.

Ora bem, já estou um pouco perro em cálculo, mas penso que não precisas de integrais triplos para nada. Nestes casos o que precisas é de integrais duplos.

O exercício resume-se a encontrar os limites de integração, depois é resolveres o integral por substituição.

Ora bem... olhando para as equações do exercício (a)... a primeira é uma esfera de centro na origem e raio Raíz de 6. A segunda é uma superfícies de revolução obtida rodando uma parábola em torno do eixo dos ZZ', deve chamar-se praí 'paraboloíde' ou coisa parecida, e tem vértice na origem.

Ora sendo uma uma esfera e outra uma superfície de revolução, está.se mesmo a ver que o sólido resultante é tambem ele um sólido de revolução e que os limites de integração no plano xOy são uma circunferência.

Por este motivo, uma mudança de variável para coordenadas cilíndricas ou esféricas facilitar-te-ia em muito este exercício na medida em que ias ficar com primitivas muito simples de resolver.

Mas vamos ficar no referencial cartesiano...

Calcula a projecção da intercepção das superfíces no eixo xOy, dá uma circunferencia. Agora tens que transformar essa circunferencia em limites de integração.

Uma vez que a circunferencia é centrada na origem, para o X podes usar os limites -r e r sendo que r é o raio. Para y, terás que encontrar o valor de y e coloca-los no teu limite.

Uma pista: os limites de y são duas semi-circunferencias.

É um pouco complicado explicar assim em modo de texto.

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Podes resolver com integrais duplos ou triplos, usando integrais triplos vais integrar a função constante igual a 1, usando integrais duplos vais estar a integrar uma outra função, que para cada valor de x e y te dá um valor de z. Essa função tens que a tirar dos enunciados

As duas resoluções são semelhantes mas aquela com integrais triplos talvez seja mais fácil.

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