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mellony

Espiral Tridimensional

12 mensagens neste tópico

Boas

Gostava de saber que calculos devo fazer para saber o tamanho duma espiral, que quero apartir do cumprimento da espiral, diametro e numero de voltas, saber o cumprimento da espiral se a fosse esticar até ficar uma linha recta.

Pronto imaginem que um avião anda sempre a direito e percorre uma distancia que eu conheço, e até sei o numero de voltas que a helice do aviao deu durante o percurso e o seu diametro, quero saber apartir daí que distancia percorreu a ponta das helices do avião.

Espero que me tenha explicado bem :wallbash:

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Nesse tipo de casos, normalmente utilizam-se integrais de linha. Integrais de linha são integrais com sentido que servem para calcular a intensidade de um fluxo, pelo que sei. Acho que nesse caso, deve ser o melhor a aplicar, não ?

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Não tenho conhecimentos de matematica que me permitem saber isso.

Por exemplo qual será o cumprimento total duma espiral com o diametro de 10 cms que percorre um metro, e que dá apenas uma volta?

Depois se possivel gostaria de saber os calculos.

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Nunca me deparei com um problema destes, mas acho que esse espiral é equivalente a um triângulo rectângulo, em que a altura é a distância percorrida, e a largura é o número de voltas multiplicado pelo perímetro da circunferência de raio igual ao raio do espiral. A medida que tu queres saber será a hipotenusa.

Ou seja, neste último exemplo, tens um triângulo de catetos de dimensão 10pi cm e 100 cm.

O raciocínio que fiz, foi imaginar que essa espiral é um desenho na superfície de um cilindro, e que estou a esticar essa superfície de modo a obter um plano.

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Não tenho conhecimentos de matematica que me permitem saber isso.

Por exemplo qual será o cumprimento total duma espiral com o diametro de 10 cms que percorre um metro, e que dá apenas uma volta?

Depois se possivel gostaria de saber os calculos.

Ah, tu queres saber o comprimento total da espiral com 10 cm de diâmetro (5 de raio) e 1 m de comprimento. Isso já é um problema um pouco mais complicado do que o cálculo de um fluxo qualquer.

Estive aqui a pesquisar um pouco e o que encontrei a explicar melhor foi isto: http://jwilson.coe.uga.edu/EMT668/EMAT6680.2000/Umberger/EMAT6690smu/Essay2smu/Essay2smu.html.

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espiralsz2.png

É mais ou menos isto.

Está a 3D, embora não pareça muito, pois foi feito no paint.

pmg, acho que esse site vai ajudar, obrigado.

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O método que o Rui Carlos utilizou é o mais simples e ainda assim correcto.

O comprimento das N voltas é N vezes o comprimento de uma volta.

Para resolver o problema de uma volta, achas a planificação do cilindro. Ficas com um rectângulo cujos lados são 2*pi*r e a distância entre as espiras. O comprimento da tua espira será a diagonal do rectângulo, assumindo que a espira não está deformada de alguma forma.

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Obrigado.

Bem nem sei como não reparei que uma volta em espiral é como um traço na diagonal da planificação do cilindro.

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Eu bem que estava todo confundido com as vossas respostas.

Isto foi daquelas coisas que sempre me deixou intrigado, em particular quando se fala da estrutura geométrica do ADN.

Isso é uma espiral? Uma espiral não é uma curva infinita que começa num centro e que gira até ao infinito? Tipo a forma como são gravados os discos e os CDs?

Nunca percebi se uma curva do tipo descrito neste tópico se chama mesmo espiral ou se tem outro nome.

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Eu bem que estava todo confundido com as vossas respostas.

Isto foi daquelas coisas que sempre me deixou intrigado, em particular quando se fala da estrutura geométrica do ADN.

Isso é uma espiral? Uma espiral não é uma curva infinita que começa num centro e que gira até ao infinito? Tipo a forma como são gravados os discos e os CDs?

Nunca percebi se uma curva do tipo descrito neste tópico se chama mesmo espiral ou se tem outro nome.

pois então ficaste como eu... quando vi o problema pensei: "mas que tipo de espiral? a logarítmica, a de Arquimedes, de Galileu, a parabólica, a hiperbólica?", e calei-me...

A curva que se apresenta não é uma espiral mas sim uma curva helicoidal.

Já agora, temos uma obra de um grande matemático português, Francisco Gomes Teixeira, intitulado "Tratado das Curvas Especiais Notáveis" que trata muitas curvas, inclusivamente as espirais, e que foi até premiada pela Real Academia de Ciencias espanhola.

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Para uma curva helicoidal eu parametrizaria e faria um integral de linha (integrar a norma da derivada da parametrização).

Se considerarmos uma helicoidal "em torno" do eixo dos zz de raio 'R', com comprimento percorrido em zz de 'L' e que dá 'N' voltas:

x=r*cos(t)

y=r*sin(t)

z=L*t/(2*pi*N)

Ou seja, gama(t) = (r*cos(t), r*sin(t), L*t/(2*pi*N)), e gama'(t) = (-r*sin(t), r*cos(t), L/(2*pi*N)).

A norma da derivada é ||gama'(t)|| = raíz( (r^2)*(sin^2(t)+cos^2(t)) + (L/(2*pi*N))^2) =raíz( r^2 + (L/(2*pi*N))^2)

Para achar o comprimento basta integrar a norma da derivada entre 0 e 2*pi*N que é trivial pois a função integranda nem sequer depende de t.

O resultado é: 2*pi*N * raíz (r^2 + (L/(2*pi*N))^2) e é válido para um número de voltas não inteiro.

E espero não me ter enganado :thumbsup:

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