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David Pintassilgo

Paradoxo de Zenão: Aquiles e a Tartaruga

19 mensagens neste tópico

Paradoxo de Zenão: Aquiles e a Tartaruga

Aquiles, o herói grego, e a Tartaruga decidem apostar uma corrida de 100m. Como Aquiles é 10 vezes mais rápido que a tartaruga, esta recebe a vantagem de começar a corrida 80m na frente da linha de largada.

No intervalo de tempo em que Aquiles percorre os 80m que o separam da Tartaruga, esta percorre 8m e continua na frente de Aquiles. No intervalo de tempo em que ele percorre mais 8m, a tartaruga já anda mais 0,8m... Dessa forma, não importa quanto tempo se passe, Aquiles nunca alcançará a Tartaruga.

A solução clássica para esse paradoxo envolve a utilização do conceito de limite e convergência de séries numéricas. O paradoxo surge ao supor intuitivamente que a soma de infinitos intervalos de tempo é infinita, de tal forma que seria necessário passar um tempo infinito para Aquiles alcançar a tartaruga. No entanto, os infinitos intervalos de tempo descritos no paradoxo formam uma progressão geométrica e sua soma converge para um valor finito, em que Aquiles encontra a tartaruga.

Axei! :)

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Não percebi muito bem, então mas o aquiles não alcança a tartaruga nos ultimos 12.2 M ???

Essa história do infinito é um pouco complexa se puderes explicitar melhor agradeço  :).

Cumps. Overrun

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isso é me  familiar.... antes de falar em series... o prof contou esta historia....  :dontgetit:

vou colocar na seccao de math, acho que tem mto a ver....  :)

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Eu odeio essa m**** dessa teoria, de tão rídicula que é!

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Eu odeio essa me*** dessa teoria, de tão rídicula que é!

calma..... pensa que existem coisas piores....  :wallbash: lolol

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Eu odeio essa me*** dessa teoria, de tão rídicula que é!

És um anti-limites, anti-infinitos ou anti-paradoxo de Zenão ?  :hmm:

Já conhecia o problema, foi com este paradoxo que descobriu-se/inventou-se a teoria dos limites.

E graças a esta teoria (e muitas outras da matemática) que temos toda esta tecnologia. Acredita!

Não percebi muito bem, então mas o aquiles não alcança a tartaruga nos ultimos 12.2 M ???

Essa história do infinito é um pouco complexa se puderes explicitar melhor agradeço  :P.

Cumps. Overrun

Não, tens aí um metro à mais :P 11,(1) m. Mas se o problema tem solução então o que está mal neste raciocínio?

Paradoxo de Zenão: Aquiles e a Tartaruga

Aquiles, o herói grego, e a Tartaruga decidem apostar uma corrida de 100m. Como Aquiles é 10 vezes mais rápido que a tartaruga, esta recebe a vantagem de começar a corrida 80m na frente da linha de largada.

No intervalo de tempo em que Aquiles percorre os 80m que o separam da Tartaruga, esta percorre 8m e continua na frente de Aquiles. No intervalo de tempo em que ele percorre mais 8m, a tartaruga já anda mais 0,8m... Dessa forma, não importa quanto tempo se passe, Aquiles nunca alcançará a Tartaruga.

Por isso é que foi designado por paradoxo e só nestes últimos tempo é que foi possível explicar isso.

Físicamente o que se está a passar é que em cada sucessão o intervalo de tempo está sempre a diminuir.

Imagina que a velocidade da tartaruga era 1 m/h. Nesta situação, eles se encontram passados 8,(8 ) horas

1.º caso a tartaruga anda 8 m, passam 8 h.

2.º caso a tartaruga anda 0,8 m, passam 0,8 h. No total passaram 8,8 h.

3.º caso a tartaruga anda 0,08 m, passam 0,08 h. No total passaram 8,88 h.

4.º caso a tartaruga anda 0,008 m, passam 0,008 h. No total passaram 8,888 h.

...

Isto faz lembrar o "clássico" (moderno) problema de avançares sempre metade do percurso que falta. Assim nunca chegamos lá (só no limite para infinito), o mesmo se passa aqui com o tempo.

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Pronto mas o que eu não percebi é porque é que o paradoxo diz que o aquiles nunca alcança a tartaruga visto que eles no metro 11,1 se vão encontrar ele sendo mais rápido que a tartaruga vai ultrapassa-la isso é uma lei lógica da física (Digo eu).

Se ou objectivo do paradoxo era provar outra coisa então continuo sem perceber muito bem  :thumbsup: é que eu sou um bocadinho burro ás vezes.

Cumps. Overrun

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Opah está bem que pode ter sido útil, mas no exemplo dado é completamente rídicula.

Desde quando é que a lebre não apanharia a tartaruga?

Agora não duvido que possa ter outro tipo de aplicação à realidade onde esteja mais correcta...

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Quando surgiu este paradoxo, não se ponha a questão de ele nunca conseguir apanhar a tartaruga!

Se fosse assim, isto seria mais uma teoria ou hipótese. Mas não, ele sabiam que ele apanhava sempre a tartaruga, por isso é que chamaram isto de paradoxo.

A primeira definição de paradoxo é:

paradoxo | s. m.

do Lat. paradoxon < Gr. parádoxon < pará, contrário + doxa, opinião

s. m.,

opinião contrária ao sentir comum;

contradição ou contra-senso, pelo menos aparente;

asneira, desconchavo.

Ou seja, tinhamos um pensamento coerente que não se adequava à realidade.

E porque que isto é importante? Bem, estavamos ná época dos filósofos onde tinha nascido a Lógica.

E com isso, o filósofos tentavam arranjar teorias lógicas para os acontecimentos do Universo.

Tudo o que viam no mundo (semântica) teria de possuir o seu equivalente na linguagem (sintaxe).

▶ o nível epistémico (semântica)

          exemplo: IASD é uma cadeira da LEEC

▶ o nível lógico (sintaxe)

          exemplo: cadeira(IASD,LEEC)

            Mundo          Factos

        (semântica)          ↑

                                    ↑

        ------------------------------

                                    ↑

          Linguagem        Fórmulas

          (sintaxe)

Que com um conjunto de regras conseguiam fazer os seguintes raciocínios lógicos, sem o uso do senso comum:

“todos os cavalos são mais rápidos que os cães”

“existe um perdigueiro que é mais rápido que qualquer coelho”

“Trovão é um cavalo”

“Bugs é um coelho”

Logo: O Trovão é mais rápido que o Bugs!

Quando uma demonstração (como o exemplo anterior) corresponde à realidade (implicada logicamente) diz-se que o pensamento é correcto.

O inverso, quando uma coisa que ocorre na realidade é demonstrável, diz-se que é completo.

Até aqui tudo bem, mas eles tinham uma coisa chamada de Validade.

Uma fórmula é válida se e só se for satisfeita para qualquer

interpretação Ι e estado do mundo conceptualizado

Aqui é que entra o paradoxo, porque existia uma interpretação do problema Aquiles e a Tartaruga que era contra o que ocorria na realidade.

Ou seja, uma demonstração que dizia que o Aquiles nunca apanhava a Tartaruga. O que não corresponde a realidade, ou seja, o raciocínio não era correcto!

O problema foi esse! Onde está a falha na demonstração? Isso só foi explicado depois com a teoria dos limites no infinito.

A demonstração é:

Temos Aquiles que anda 10 vezes mais rápido que a tartaruga, e a tartaruga tem um avanço de 80 m.

Quando o Aquiles percorre os 80 m a tartarura desloca-se 8 m.

Quando o Aquiles percorre os 8 m a tartarura desloca-se 0,8 m.

Quando o Aquiles percorre os 0,8 m a tartarura desloca-se 0,08 m.

...

E assim sucessivamente. Ou seja, se mantivermos sempre o mesmo raciocínio, isto nunca terá fim. Porque sempre que o Aquiles chega a posição onde estava a Tartaruga esta ja deslocou um pouco para a frente! Por isso, por mais que pequeno seja essa distância, ela nunca vai ser nula (só no infinito).

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Mas repara que aí é que está o grande erro porque se o Aquiles anda 10 vezes mais rápido que a tartaruga, mesmo não havendo um limite enquanto a tartaruga percorre 0,8 M o Aquiles vai percorrer outros 80 metros já que o Aquiles anda sempre a mesma velocidade bem como a tartaruga e embora ela tenha 80 M de avanço chega uma altura em que o Aquiles andando a uma velocidade maior a ultrapassa muito mais.

Penso que o problema não tem lógica porque a "lógica" que ele tenta seguir demonstra que o Aquiles vai abrandando ao longo do percurso e que a tartaruga continua à mesma velocidade..

Se repararem é isso que acontece por isso é que acho que os filosofos eram um bocadinho burros. Enfim.

Cumps. Overrun

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Mas repara que aí é que está o grande erro porque se o Aquiles anda 10 vezes mais rápido que a tartaruga, mesmo não havendo um limite enquanto a tartaruga percorre 0,8 M o Aquiles vai percorrer outros 80 metros já que o Aquiles anda sempre a mesma velocidade bem como a tartaruga e embora ela tenha 80 M de avanço chega uma altura em que o Aquiles andando a uma velocidade maior a ultrapassa muito mais.

Penso que o problema não tem lógica porque a "lógica" que ele tenta seguir demonstra que o Aquiles vai abrandando ao longo do percurso e que a tartaruga continua à mesma velocidade..

Cumps. Overrun

Não te esqueças que trata-se de uma intepretação "verdadeira". Existe N intepretações!

O erro não está na demonstração, porque o pensamento é bastante coerente (não vejo nenhum erro de raciocínio). A dificuldade, na altura, era provar que mesmo seguindo esse raciocínio, que o Aquiles apanhava a tartaruga.

Se repararem é isso que acontece por isso é que acho que os filosofos eram um bocadinho burros. Enfim.

Não, eles eram muito espertos (não tinham mais nada para fazer). As tentativas de descobrir fórmulas para o raciocínio e para a linguagem humana, a matemática lógica é a base/semente de IA.

É difícil uma coisa que é conhecida por natureza implementá-la numa máquina.

Como uma máquina pode apreender, como é que com duas frases ela conclua a terceira? Coisas do género...

É o futuro da programação!

Por exemplo os satélites de Galileo vão para o espaço "burros", depois com o tempo vai ocorrendo a auto-aprendizagem (não estou dentro do assunto, mas foi o que um dos responsáveis disse na TV).

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Mas repara que aí é que está o grande erro porque se o Aquiles anda 10 vezes mais rápido que a tartaruga, mesmo não havendo um limite enquanto a tartaruga percorre 0,8 M o Aquiles vai percorrer outros 80 metros já que o Aquiles anda sempre a mesma velocidade bem como a tartaruga e embora ela tenha 80 M de avanço chega uma altura em que o Aquiles andando a uma velocidade maior a ultrapassa muito mais.

Penso que o problema não tem lógica porque a "lógica" que ele tenta seguir demonstra que o Aquiles vai abrandando ao longo do percurso e que a tartaruga continua à mesma velocidade..

Cumps. Overrun

Não te esqueças que trata-se de uma intepretação "verdadeira". Existe N intepretações!

O erro não está na demonstração, porque o pensamento é bastante coerente (não vejo nenhum erro de raciocínio). A dificuldade, na altura, era provar que mesmo seguindo esse raciocínio, que o Aquiles apanhava a tartaruga.

Se repararem é isso que acontece por isso é que acho que os filosofos eram um bocadinho burros. Enfim.

Não, eles eram muito espertos (não tinham mais nada para fazer). As tentativas de descobrir fórmulas para o raciocínio e para a linguagem humana, a matemática lógica é a base/semente de IA.

É difícil uma coisa que é conhecida por natureza implementá-la numa máquina.

Como uma máquina pode apreender, como é que com duas frases ela conclua a terceira? Coisas do género...

É o futuro da programação!

Por exemplo os satélites de Galileo vão para o espaço "burros", depois com o tempo vai ocorrendo a auto-aprendizagem (não estou dentro do assunto, mas foi o que um dos responsáveis disse na TV).

Ha algum tempo vi um documentário sobre robots que falava dessa cena da auto-aprendizagem e se queres que te diga não fiquei muito convencido com as teorias deles.

O primeiro ponto que me levou a ter dúvidas (sou muito questionador  :-[) foi o aspecto de que se eles não compreendem todas as possibilidades do cerebro humano e se não o compreendem na totalidade estão a trabalhar para criar algo imperfeito atravéz algoritmos dos quais desconhecem a base real, podem estar a tentar fazer algo impossível e não o percebem por não conhecerem a origem humana na totalidade, acho que estão a pensar nas coisas antes do tempo.

O objectivo deles na altura era básico e bem possível as ambições é que eram de todo muito futuristas, supostamente o que eles já tinham alcançado era a possíbilidade de um robot empreender palavras atravéz do que lhe vão dizendo e começar a utiliza-las em vez de serem programadas, para alem disso deveriam decidir quando as usar, neste aspecto acho que é como educar um papagaio. Ou seja, ouve repete e aprende a saber quando repetir.

Visto que se trata de um robot tem de ser programado e por isso é um pouco mais complexo que o papagaio mas é possível, mas se supostamente seria como educar um papagaio e nós hoje em dia não conseguimos tornar nenhum animal inteligente ao nosso nível então como queremos fazer isso com algo artificial ou seja que não foi criado na perfeição da natureza. Segundo alguns filosofos o homem é um ser imperfeito porque não segue as leis da natureza logo nunca poderá criar nada perfeito, de qualquer das formas sou de acordo com a teoria que prova que a perfeição é um conceito inventado por nós logo não podemos entrar por aí.

Enfim isto tudo para dizer que a inteligencia artificial semelhante à do homem só poderá ser atingida quando o homem se perceber a ele próprio no seu todo, até lá é como tentar fazer um bolo e não saber como fazer a massa. Ou seja sabe-se do que se precisa mas não se sabe como fazer.

Quanto ao problema continuo mais uma vez sem perceber qual é o objectivo, o que tirei das vossas conclusões era que o objectivo era "inventar" teorias de forma a que o paradoxo funciona-se, mesmo que essas fossem contra a nosso conceito de "verdade".

Cumps. Overrun

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Não!.. era 'inventar' esplicações(neste caso os limites)  para que a teoria 'bate-se' certo com a realidade.

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Ha algum tempo vi um documentário sobre robots que falava dessa cena da auto-aprendizagem e se queres que te diga não fiquei muito convencido com as teorias deles.

O primeiro ponto que me levou a ter dúvidas (sou muito questionador  :-[) foi o aspecto de que se eles não compreendem todas as possibilidades do cerebro humano e se não o compreendem na totalidade estão a trabalhar para criar algo imperfeito atravéz algoritmos dos quais desconhecem a base real' date= podem estar a tentar fazer algo impossível e não o percebem por não conhecerem a origem humana na totalidade, acho que estão a pensar nas coisas antes do tempo.

O objectivo deles na altura era básico e bem possível as ambições é que eram de todo muito futuristas, supostamente o que eles já tinham alcançado era a possíbilidade de um robot empreender palavras atravéz do que lhe vão dizendo e começar a utiliza-las em vez de serem programadas, para alem disso deveriam decidir quando as usar, neste aspecto acho que é como educar um papagaio. Ou seja, ouve repete e aprende a saber quando repetir.

Visto que se trata de um robot tem de ser programado e por isso é um pouco mais complexo que o papagaio mas é possível, mas se supostamente seria como educar um papagaio e nós hoje em dia não conseguimos tornar nenhum animal inteligente ao nosso nível então como queremos fazer isso com algo artificial ou seja que não foi criado na perfeição da natureza. Segundo alguns filosofos o homem é um ser imperfeito porque não segue as leis da natureza logo nunca poderá criar nada perfeito, de qualquer das formas sou de acordo com a teoria que prova que a perfeição é um conceito inventado por nós logo não podemos entrar por aí.

Enfim isto tudo para dizer que a inteligencia artificial semelhante à do homem só poderá ser atingida quando o homem se perceber a ele próprio no seu todo, até lá é como tentar fazer um bolo e não saber como fazer a massa. Ou seja sabe-se do que se precisa mas não se sabe como fazer.

Quanto ao problema continuo mais uma vez sem perceber qual é o objectivo, o que tirei das vossas conclusões era que o objectivo era "inventar" teorias de forma a que o paradoxo funciona-se, mesmo que essas fossem contra a nosso conceito de "verdade".

Cumps. Overrun

Tal como o Overrun disse, e muito bem, o ser humano é imperfeito. Não utilizamos nem sequer metade da capacidade que temos à disposição...

A inteligência artificial poderá estar a contribuir para que possamos conhecernos melhor, a nivel de raciocinio e de capacidade de "processamento". Tal como, quando fazemos um programa, depois de um algoritmo feito, percebemos muito melhor a questão do problema... será assim que vai acontecer em relação a inteligencia do Homem vs Inteligencia Humana. Porém, passará muito longe do caminho da perfeição. Mas isto será um ciclo: quanto mais desenvolvemos a inteligência artificial mais nos conhecemos... quanto mais nos conhecermos mais podemos aperfeiçoar-nos... e por ai em diante.

Em conclusão, o desenvolvimento da inteligência artificial é, no fundo, uma busca pelo conhecimento do ser humano e das suas capacidades!

Tá dito.:thumbsup:

Cumps.NeoCore

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Não!.. era 'inventar' esplicações(neste caso os limites)  para que a teoria 'bate-se' certo com a realidade.

Exacto, eu finalmente fiquei a perceber essa teoria...

Digamos que é apenas uma questão mesquinha dos filosofos...

Estes acabaram por fazer um racícinio dedutivo válido, partindo de permissas verdadeiras e sólidas/correctas, mas no qual a conclusão  não se verificava na realidade, ou seja falsa. E isto deve-se ter tornado num grande quebra-cabeças para os filósofos...

apenas e só isso pelo que percebi....até vir a tal teoria dos infinitos..

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Ok... aqui vai a minha primeira participação neste fórum... ;)

Em primeiro lugar é preciso entender que Zenão fazia parte de uma escola que negava a existência de mudança, a escola de Parménides, "o que é nunca pode deixar de o ser". Por isso Zenão magicou uma quantidade de paradoxos que contrariam a existência de Movimento, e mesmo de tempo.

Imaginem-se numa estrada com dois caminhos, um representa a ideia de que o movimento é possível, o outro que o movimento não é possível. A ideia de Zenão era bloquear o primeiro caminho(de que o movimento era possível), mas não o conseguindo bloquear logo à entrada, foi bloqueando todos os caminhos que se ramificavam a partir desse, não deixando outra hipótese que não enveredar pelo que ele queria!

Uma das ideias a bloquear era a de que o espaço e o tempo exitem e seriam infinitamente divisiveis, como acontece neste caso. Zenão criou o paradoxo para bloquear este caminho.

O que Zenão não sabia na altura é que uma quantidade infinita de números (que serão os termos de uma série) pode convergir para um número finito! basta pensar em (1/2)^n, n=1...inf. par ver o que acontece... basta pensar numa maçã, começamos com metade da maçã (1/2), depois (1/4), (1/8) ... e chegamos(?) ao final, não podemos ter mais que uma maçã inteira e se repararem, o valor das fatias tende para 0, nada!

Uma série é convergente se a sucessão das parcelas tende para 0 a uma velocidade razoável (apenas uma ideia porque não vale a pena aprofundar este assunto).

Voltemos ao que interessa...

Vamos dizer que Aquiles percorre 10m em 1 seg. e a tartaruga 1m no mesmo tempo! Quando Aquiles percorre os 10 m já a tartaruga andou 1 e depois Aquiles tem que percorrer 1m mas a tartaruga andou 0,1m... e por aí em diante.

Por isso se a trataruga estiver 10 m à frente de Aquiles, as distâncias percorridas pela tartaruga serão: 1; 0,1; 0,01; 0,001... se continuarmos vamos ter valores muito próximos de 0, ou seja, esta sucessão tende para 0, mas a sua soma será 0,(1), o 1 repete-se infinitamente. Quanto a Aquiles, percorre as distâncias 10; 1; 0,1; 0,01;... a soma desta vez é 11,(1). Et voila! Aquiles apanha a tartaruga aos 11,(1)m da corrida, ou mais exactamente aos 11+1/9 m.

O problema aqui é mesmo estar a considerar que uma soma de uma quantidade infinita de parcelas será o infinito!

Outro paradoxo que explica isso é o da Dicotomia, que é basicamente a mesma coisa. Zenão diz que se quisermos percorrer uma certa distância, temos de percorrer metade dela, ficando outra metade. Para percorrer a segunda metade, temos que percorrer metade dessa metade, e por aí em diante. Se formos ver, no final temos infinitas distâncias, e quanto tempo é necessário para percorrer infinitas distâncias? A resposta é: infinito!!! então nunca chegaremos lá, como podemos considerar distâncias de 1mm, nem isso nos podemos mexer!!! O erro neste caso é o mesmo: considerar que a soma de infinitas parcelas é obrigatóriamente infinita!

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Apesar de toda a matemática que aprendi também sou um bocado anti-teoria-dos-limites, lol. Especialmente neste caso quando o problema se resolve bem sem isso!

80 + x = 10x <=> x = 8,(8)

quer dizer que eles se encontram aos 88,(8) metros

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Epa... leiam o primeiro tópico.

Está bem claro o que era o paradoxo. Não se tratava de resolver o problema. E de qualquer das formas a geometria cartesiana é posterior a este paradoxo.

O problema é que ele sabia bem que apanhava a tartaruga. Mas a matemática da altura dizia que não. Repito:LEIAM O TÓPICO DE ABERTURA COM ATENÇÃO

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