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brink@ero

Problema de Estatística: 1 carro e 2 cabras

58 mensagens neste tópico

Então ppl?

Tem andado tudo meio chocho...que se passa?

Quem pagou foram os fóruns mais pequenos como este da matemática.... buga afixai aí.... desentorpeçam esses dedos e teclem... digam coisas....

Já li os tópicos todos de matemática... :thumbsup:

A pedido do pedrotuga deixo aqui um novo problema bem conhecido de estatística (quem já estudou já conhece a solução).

Num concurso X existem 3 portas A, B e C. Atrás de cada uma das portas está uma cabra ou um carro e existem 2 cabras e 1 carro para as 3 portas.

O apresentador pede para o concorrente escolher uma porta e o que lá estiver o concorrente ganha!

Depois do concorrente escolher a porta B, o apresentador abre a porta C onde estava uma cabra e pergunta: "Mantem a escolha na porta B ou muda para a porta A?"

A questão é o seguinte:

O que deve o concorrente fazer? mantem ou muda de opinião?

Qual dos casos ele tem mais hipóteses de ganhar?

Qual a probabilidade de ganhar em cada um dos casos?

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eheheheh.... eu li "O mistério do bilhete de identidade e outras histórias" do jorge buesco ;)

Mas sim senhor... aí está um problema engraçado.

david... não é meio por meio. É impressionante mas não é, se não acreditares podes fazer um programa de computador simples que teste isso. Mas tens k ter muito cuidado com a geração de numeros aleatórios, que é um velho problema de qq programador.

Vamos esperar que mais ppl tente descobrir.

depois o brinka diz a resposta ;) que foi ele que iniciou o problema.

brinka... obrigado de qq forma :D

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Estou a axar isso tudo muito estranho,.... não há 'manhosice' nenhuma ai nem nada?

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nenhuma...

não há nenhum trocadilho... é tal qual como está. Eu tambem pensei logo 50/50... mas não é.

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Bom, então mas se eu precebi numa porta está uma cabra , noutra está outra cabra e noutra está o carro.

numa das portas ja se sabe que esta a cabra, as duas que restao uma tem o carro a outra tem a cabra. Ou seja, a porta que o concorrente escolheu ou tem a cabra e o carro esta na outra, ou ao contrario. Ou precebi mal o problema?

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;)

Não é nenhum problema de português ou assim, no qual a resposta advenha de uma interpretação diferente do enunciado?

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Só existe uma interpretação

relembro

Depois do concorrente escolher a porta B, o apresentador abre a porta C onde estava uma cabra e pergunta: "Mantem a escolha na porta B ou muda para a porta A?"

ou seja:

1.º existem 3 portas, uma com um carro e as restantes com cabras

2.º o concorrente escolhe uma porta das 3 portas possíveis

3.º das duas portas que o concorrente não escolheu, o apresentador abre uma delas onde esta uma cabra

4.º o concorrente deve manter ou não a escolha da porta?

Mais não digo  ;) se não perde a piada

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;)

Não é nenhum problema de português ou assim, no qual a resposta advenha de uma interpretação diferente do enunciado?

É essa mesmo a minha duvida, pq não estou a ver MESMO onde poderá estar a difrenca entre as duas portas que sobram. Ai á gato de certeza....

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lol... exactamete o que eu pensei

Não há não... epá... este problema é mesmo díficil, acho que é o caso onde a palavra certa é mesmo "difícil" não é complicado, nem trabalhoso, nem confuso... é dificil.

Analiza bem o problema desde inicio.

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Depois de uma rápida análise

Penso assim:

são três portas:

33.33 % de probablidade de calhar o carro

66.66 % de probablidade de calhar uma cabra

Após a escolha da porta C, penso assim:

Se uma das portas está fora de questão a C então:

50% de probablidade de calhar o carro

50% de probablidade de calhar a cabra

Por ética, acho que ao o apresentador ao fazer essa pergunta se quer ou não mudar de opinião, acho que é para meter alguma pressão sobre o concorrente..... logo aí penso que vai existir uma nova probablidade, a de mudança de opinião que na minha opinião tornar-se-ia assim: 75% de probablidade de mudar de opinião, 25% de manter. Logo penso que o carro se encontra na porta B.

Mas por se tratar de um problema matemático, não encontro outra teoria senão a minha primeira, a segunda teoria confesso que é um pouco absurda mas são as teorias matematicóplopistas.

cumps, se alguem pudesse dar umas pistas que contrariem as minhas teorias estaria-lhe muito grato, dado que tenho a certeza que estou equivocado.

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Ainda tou pra ver qual é a solução...  :dontgetit: :rant_01: se me sai dai alguma chalassa ou jogo de palavras,... grrrrr :mad:

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Ok... aqui vai.

vou utilizar a técnica inventada de forma inteligente pela tofas. Quem nao quiser ler nao leia... quem for curioso selecione o texto para ler  :)

[glow=black,2,300]as minhas desculpas ao brinca que iniciou o a thread... é para bem da comunidade ( estou a roubar-te a parte melhor :) )

Ora bem... a probabilidade de acerta caso nao se mude é: 1/3 e a probabilidade de se acertar quando se muda é de 2/3.

Não... não estou doido. Quando se escolhe a primeira porta tem-se uma probabilidade de 1/3 de acertar... até aqui todos estamos de acordo. Mas depois uma porta é deitada fora... sempre a que não tem o carro. Ou seja.. o problema resume-se a:

mantendo a porta temos uma probabilidade favorável de 1/3 pois tinhamos 3 portas à escolha.

mudando temos uma probabilidade favorável de 2/3 pois é a probabilidade do carro estar "numa das duas portas que nao escolhemos inicialmente". Não interessa em qual está pois o apresentador deita sempre fora a má.

Se não acreditarem facam simulem voces mesmo a experiencia com um programa de computador por exemplo. Ou entao convidem um amigo vosso e simulem o concurso...loooll têm é que o fazer diversas vezes para poderem ter uma boa amostra... vao ver que é 1/3 para 2/3.[/glow]

Quem diria ;)

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Já li a resposta mas continu-o sem preceber a logica disso, (aliás,.qual logica?)

uma das porta foi com o cão, pronto, fica fora da história! sobre 2 portas onde numa está o carro e na outra nao. meio por meio PRONTO!

...eu continuo na minha.....

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Mas olha, se ele já só tem duas portas á escolha e só pode escolher uma, a probablidade resume-se a 1/2

1-caso favorável (número total de portas com carros)

2-casos possíveis (numero total de portas)

....com a tua explicação não fiquei muito convencido

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Este enigma é conhecido como "o paradoxo de Monty Hall".

Para analisar o problema do ponto de vista matematico temos de ter em conta que existe intervenção "exterior" no desenrolar da situação, dado que o apresentador nunca vai abrir a porta que contenha o premio (caso não tenha já sido escolhida pelo concorrente, claro).

Fiz uma pequena simulação e, apesar de a amostra ser pequena, os resultados foram bastante interessantes:

Em 34 situações de mudança de porta o carro foi ganho 17 vezes. (50% das vezes)

Em 34 situações de não mudança o carro foi ganho apenas 12 vezes. (35% das vezes)

Ou seja...

Não mudar de porta significa continuar fiel à escolha inicial, quando a probabilidade era de 33% (1 escolhida entre 3 possiveis). À partida quando se escolheu uma das portas havia 1/3 de probabilidade de ganhar o carro. Não existe razão absolutamente nenhuma para a probabilidade mudar quando o apresentador abre uma das portas que não têm premio. A simulação apontou para 35% nessa situação, o que se aproxima bastante do 1/3 esperado.

Mudar de porta significa deixar de parte a escolha inicial (e os 1/3 que ela representava), e voltar a fazer uma escolha, mas desta vez apenas entre 2 portas (agora com 1/2 de probabilidades cada uma de esconder o premio). Para este caso a simulação apontou para 50%.

:)

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o gajo ao escolher a porta tinha probabilidade de 1/3, ok,.. quando o aresentador abre uma das portas com a cabra automaticamente a probabilidade passa de 1/3 para 1/2. No momento em que o apresentador pergunta se quer trocar a probabilidade é essa mesmo, 1/2 Ponto Final.

Este problema faz-me lembrar a história do mosquito que bate no comboio e o comboio para. ou então o do atleta grego que nunca conseguiria apanhar a tartaruga pq ela partio uns metros á frente. Mas isso eu só consigo explicar pessoalmente porque nao sou lá grande coisa na minha espresão escrita. Se por acaso alguem souber do que estou a falar que esponha o caso aqui ao pessoal :)

edit:

As duas 'histórias' que estou a falar é mesmo algo desse genero, não era nenhuma piadinha ou boca fuleira, ninguem sabe mesmo do que estou a falar?

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A da tartaruga conheco, esse parodoxo foi resolvido com o conceito de limite.

Mas oh david... agora que o hma já deu mais uma axega... já percebeste?

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então mas olha uma coisa, se o concorrente sabe que numa das portas está uma cabra, é óbvio que ele não a vai escolher!!! Ou seja só vão existir 2 opções, a porta A e a porta B, ou o gajo é tão burro que ainda põe em questão de escolher a porta C ??

edit: já percebi, custou mas percebi. Então na primeira escolha, o concorrente não sabe que na porta está a cabra, então ele aí escolhe a B, 1/3. Mas como ele depois sabe que na porta C está a cabra, se ele não mudar de opinião a sua probablidade mantém-se pois quando ele escolheu a porta B não sabia o que estava na porta C.

Mas se ele mudar de opinião.... esta parte da probablidade mudar para 2/3 (istro é a probablidade de acertar o carro ou na outra cabra??) é que ainda não percebi...

edit: edit: Lol, custou mas entendi tudo.... acho que sózinho não xegava a essa conclusão tive de ler praí 5 vezes as vossas respostas...

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Bem, como seria de esperar existe muitas opiniões e vou ser sincero eu antes de conhecer a solução eu era muito céptico sobre a opinião de muitos colegas meus que tinham a razão.

O que o pedrotuga respondeu está correcto.

E vou tentar demontrar isso por 4 maneiras.


Para começar, tentar explicar o problema e a solução:

Primeiro a probabilidade de acertar caso o concorrente não mude de opinião. Nesta situação o concorrente para ganhar, tem de acertar no carro logo a primeira!

Como existem 3 portas e só uma que tem o carro-> a probabilidade de acertar à primeira o carro é de 1/3.

O apresentador ao abrir uma porta não influencia na probabilidade porque este não muda de opinião, o concorrente mantém-se fiel a sua 1.ª escolha.

Agora a mais difícil de acreditar, a probabilidade de acertar caso mude de opinião. Se ele muda de opinião, quer dizer que a escolha final é diferente da primeira escolha!

Assim para ele ganhar, primeiro tem de escolher uma cabra, porque se ele escolher um carro e mudar de opinião->ele perde.

Se ele efectuar na 1.ª escolha a porta onde está a cabra, a outra porta que tem a cabra é aberta pelo apresentador. Assim se o concorrente mudar de opinião a única porta que ele tem disponível para escolha é a porta com o carro (se ele muda de opinião, ele não tem 2 casos possíveis mas sim 1, porque ele não pode manter a 1ª escolha)

Então se ele muda de opinião e se a 1ª escolha foi uma porta com a cabra-> ele ganha.

Como a probabilidade de acertar na 1ª escolha na cabra é de 2/3 então a probabilidade de ganhar mudando de opinião é de 2/3


Para quem ainda não acredita, vou dar um exemplo bem crítico.

Têm um baralho com 52 cartas. Se escolherem o as de espadas ganham.

Escolhem uma carta ao acaso, depois o apresentador tira 50 cartas que não tem o as de espadas e pergunta manténs ou mudas de opinião?

Definitivamente não é 50/50 nem 0,2/50, mas sim P=1/52 de acertar se mantiveres a resposta e 51/52 se mudares de opinião (mesmo raciocínio explicado anteriormente).

Por isso se mudares de opinião, quase de certeza ganhas (98%), se mantiver tens poucas hipóteses de ganhar (2%).


Fica aqui a dedução matemática:

Existem 2 acontecimentos

A - Acertar na primeira escolha

M - Mudar de opinião e acertar

legenda:

^ - o operador e (intersecção de acontecimentos)

| - o operador condicionado

A - negação do acontecimento

1.ª escolha

P(A)=1/3

P(A)=2/3

2.ª escolha

a) sabendo que acertou na 1.ª escolha

P(M|A)=0 (impossível porque se ele acertou na 1.ª escolha se ele mudar de opinião é impossível ele acertar outra vez)

P(M|A)=1 (se ele mantém a opinião-> ele acerta, acontecimento certo)

b) sabendo que falhou na 1.ª escolha

P(M|A)=0 (se ele não acertou na 1.ª e não muda de opinião->é impossível ganhar)

P(M|A)=1 (se ele não acertou e muda de opinião-> ganha, acontecimento contrário ao do anterior)

como a P(X^Y)=P(X|Y) x P(Y)

e P(X)=P(X^Y) + P(X^Y)

Então:

P(M^A) = 0 x 1/3 = 0

P(M^A) = 1 x 2/3 = 2/3

[glow=green,2,300]P(M) = 2/3[/glow]

P(M^A) = 1 x 1/3 = 1/3

P(M^A) = 0 x 2/3 = 0

[glow=green,2,300]P(M) = 1/3[/glow]


Agora o programa para simular:

#include <ctime>    // para time()
#include <cstdlib>  // para srand() and rand()
#include <iostream>
#include <fstream>

using namespace std;

int main()
{
int			n_porta_carro,
			n_porta_cabra,
			i, k,
			escolha_do_conc,
			n_muda=0,
			n_mantem=0,
			count=0,
			aux;
char		porta[3];
ofstream	outputfile("resultados.txt");

// O gerador interno de numeros aleatorios, para nao obter sempre os mesmos sorteios
srand(time(0));

for (k=0; k<10000; k++)
{
	outputfile<<"************ caso "<<k<<" ************"<<endl<<endl;

	// Onde fica o carro
	n_porta_carro=rand()%3;

	outputfile<<" Carro esta na posicao: "<<(char)(n_porta_carro + 'A')<<endl;

	// Preencher as portas
	for (i=0; i<3; i++)
	{
		if (i==n_porta_carro)
			// a - de automóvel
			porta[i]='a';
		else
			// c - de cabra
			porta[i]='c';
	}

	// Escolha do concorrente
	escolha_do_conc=rand()%3;

	outputfile<<" A primeira escolha do concorrente: "<<(char)(escolha_do_conc + 'A')<<endl;

	// Numero de casos
	count ++;

	// O apresentador abre uma porta que tem a cabra
	if (porta[escolha_do_conc]=='a')
	{
		// O concorrente escolheu a porta com o autmovel
		// Entao o apresentador tem duas portas disponiveis para abrir
		switch(escolha_do_conc)
		{
			case 0:
				n_porta_cabra=rand()%2+1;
				break;
			case 1:
				n_porta_cabra=(rand()%2)*2;
				break;
			case 2:
				n_porta_cabra=rand()%2;
				break;
		}
	}
	else
	{
		// O concorrente escolheu a porta com uma cabra
		// Entao o apresentador abre a outra porta onde esta a cabra
		n_porta_cabra=3-escolha_do_conc-n_porta_carro;
	}

	outputfile<<" O apresentador abre a porta: "<<(char)(n_porta_cabra + 'A')<<endl;

	if (porta[escolha_do_conc]=='a')
	{
		// O concorrente que mantem ganha
		n_mantem++;
		// A nova escolha do concorrente que muda e' a porta que falta
		escolha_do_conc=3-n_porta_cabra-escolha_do_conc;
		outputfile<<" A nova escolha do concorrente que muda de opiniao: "<<(char)(escolha_do_conc + 'A')<<endl<<endl
				<<"O concorrente que manteve a opiniao -> ganhou!!"<<endl
				<<"O concorrente que mudou de opiniao  -> perdeu!!"<<endl;
	}
	else
	{
		// Entao porta[escolha_do _conc]='c' e' uma cabra
		// A nova escolha do concorrente e' a porta que falta
		escolha_do_conc=3-n_porta_cabra-escolha_do_conc;
		outputfile<<" A nova escolha do concorrente que muda de opiniao: "<<(char)(escolha_do_conc + 'A')<<endl<<endl
				<<"O concorrente que manteve a opiniao -> perdeu!!"<<endl;
		if(porta[escolha_do_conc]=='a')
		{
			// O concorrente que muda de opiniao ganha
			n_muda++;
			outputfile<<"O concorrente que mudou de opiniao  -> ganhou!!"<<endl;
		}
		else
			// Ninguem ganha
			outputfile<<"Ninguem ganhou ganhou!!"<<endl;
	}
}

outputfile<<endl<<endl
		<<"**************************************"<<endl<<endl;

// Resultado final
outputfile<<" Numero de casos testados = "<<count<<endl;
outputfile<<" Numero de casos em que quem manteve de opiniao ganhou = "<<n_mantem<<endl;
outputfile<<" Numero de casos em que quem mudou de opiniao ganhou = "<<n_muda<<endl;

return 0;
}

e resultado final:

Numero de casos testados = 10000

Numero de casos em que quem manteve de opiniao ganhou = 3324

Numero de casos em que quem mudou de opiniao ganhou = 6676

O que dá a seguinte frequência relativa:

fr(mater de opinião e ganhar) = 33,24 aprox = 1/3

fr(mudar de opinião e ganhar) = 66,76 aprox = 2/3


Espero ter convencido todos :thumbsup:

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Com o exemplo das cartas percebi realmente.... és um grande prof brinkaero :)

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Mas oh david... agora que o hma já deu mais uma axega... já percebeste?

Eu preceber precebi logo, mas continu-o na minha. "...quando o aresentador abre uma das portas com a cabra automaticamente a probabilidade passa de 1/3 para 1/2." Agora se estatisticamente falando e mais na sei o que isso é difrente é pá,.. ok. Ficamos como o outro da tarturuga,..vai dar ao mesmo.

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