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Soluções de equação complexa

12 mensagens neste tópico

Olá,

Alguem me sabe dizer como encontrar as soluções destas equações complexas?

A)    cos(z) = 2

:)    z^(2i) - 2z^i + 2 = 0

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A primeira é impossível...

A segunda, vê se não é uma equação de 2o grau "normal".

(Não olho para isto há anos..)

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A primeira é impossível...

A primeira é impossível em R... Em C acho que não é.

Tendo em conta que cosh(x i)=cos(x), é possível calcular arccos(2).

Mas os meus conhecimentos em Análise Complexa são praticamente nulos...

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A segunda, não terás de fazer algo tipo:

z^(2i) - 2z^i + 2 = 0 <=> z^2 - 2z + 2^(1/i) = 0

?

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Ora bem, para a segunda lembrei-me agora de um técnica que talvez dê para aplicar...

z2i - 2 zi + 2 = 0

=> (zi)2 - 2 (zi) + 2 = 0     >> seja x=zi e temos uma vulgar equação de 2º grau

=> zi = (2 ± sqrt((-2)2 - 4 * 2)) / 2

=> zi = 1 ± i

=> z = (1 ± i)-i  >> i * -i = -(i2) = -( -1) = 1

Não sei se está correcto (tanto ao nível de contas, como de raciocínio) :)

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A) cos(z) é definido como (e^iz + e^-iz)/2. Substituindo: (e^iz + e^-iz)/2 = 2

Como e^(x+iy) está definida como (e^x)*(cos(y) + i*sen(y)), tendo z=x+iy, ficamos com:

(e^-y)*(cos(x) + i*sen(x)) + (e^y)*(cos(x) - i*sen(x)) = 4, do lado esquerdo temos que ter um número complexo tal que a parte real é 4 e a parte imaginária é 0. Ficamos então com duas equações:

cos(x)*(e^-y + e^y) = 4

i*sen(x)*(e^-y - e^y) = 0

Na segunda equação: e^-y - e^y só se vai anular se y=0, porque caso contrário um tem módulo maior que 1 e outro menor que 1 resultando um número diferente de 0. sen(x) anula-se para x = pi*k , k inteiro.

Na primeira equação, se x=pi*k então temos duas hipóteses: x=2*pi*k, ou seja cos(x)=1, com e^-y + e^y = 4. Fazendo uma mudança de variável para w=e^y temos 1/w + w = 4 <=> w^2 - 4 + 1 = 0 que é uma quadrática de soluções w= 2+raíz(3) e 2-raíz(3).

Ou então x=(2*k+1)*pi, ou seja cos(x)=-1 com e^-y + e^y = -4, como a exponencial é sempre positiva este resultado é impossível.

Testamos ainda a hipótese de y=0, mas teríamos que ter cos(x)=2 e tal não é possível.

As soluções são então z=x+iy, x=2*pi*k, k inteiro e y = 2+-raíz(3)

:) z^(2i) - 2*z^i + 2 = 0, tens que seguir o conselho do JoãoRodrigues, repara que a equação é equivalente a:

(z^i)^2 - 2*(z^i)^1 + 2*(z^i)^0 = 0, ou seja, uma equação de segundo grau em z^i. Aplicando a fórmula resolvente obtemos as raízes z^i = 1+ i e z^i = 1- i.

Vamos resolver em ordem a z: temos z^i = e^(i*log(z)) = e^(i*log|z| - arg(z)) = (e^-arg(z))*(cos(log|z|) + i*sen(log|z|)).

Para ser igual a 1+i temos

e^-arg(z) * cos(log|z|) = 1

e^-arg(z) * sen(log|z|) = 1

Se fizermos arg(z) = 0 temos que ter sen(log|z|) = cos(log|z|) = 1, o que é impossível. Na realidade é evidente que qualquer que seja a solução temos que ter cos(log|z|) = sen(log(|z|), tal só é possível com log|z| = pi/4 + pi*k, k inteiro, como a exponencial é sempre positiva este resultado reduz-se a log|z| = pi/4 + 2*pi*k, com cos e sen = raíz(2) / 2. temos então arg(z) = log(2/raíz(2)).

Para o caso z=1- i é equivalente mas desta feita sen e cos têm que ter valores simétricos (mais precisamente cos positivo e sen negativo), donde log|z| tomará os valores 7pi/4 + 2pi*k, e arg(z) = log(2/raíz(2)).

Provavelmente enganei-me nalguma coisa, se sim, façam favor de corrigir, alguma dúvida pergunta.

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Posso dizer, com toda e total segurança, que o pedrosorio OWNOU-ME completamente na primeira :) Mas vá, ainda me lembro de alguma coisa pa segunda :) :) (realmente...já não tenho matemática há 2 anos... que falha .. :S)

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Eu também vou deixar de ter matemática a partir de agora... Espero não me esquecer das coisas  :)

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Ohhh :P pedrosorio, eu já estava pronto aqui para despejar a formula de moivre, já respondeste.

E bem explicado!

Isto é bom conteudo para o nosso wiki agora que já podemos colocar lá fórmulas como deve ser.

O contradomínio da função cosseno é todo o plano C, mas o seu valor só é real para número reais entre -1 e 1.

Joaorodrigues, tás a ver como os engenheiros têm que empinar bues matemática.

Não sei se isto é muito utilizado pelos engenheiros informáticos, mas um engeneiro electrotecnico tem que fazer este tipo de calculos regularmente sempre que trabalha com correntes alternadas.

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