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pedrotuga

Figuras geométricas na natureza

13 mensagens neste tópico

Ha tempos, no supermercado vi este vegetal que me fascinou, é uma couve flor romena.

O que me deixou fascinado foi o facto de a natureza ter criado um vegetal em forma de fractal.

Um fractal, para definir assim rapidamente é uma figura geométrica recursiva. Uma propriedade destas figuras é que quando nos focamos numa parte dessa figura, essa parte tem o mesmo detalhe que qualquer outra parte maior ou menor.

Por exemplo, se olharem para estas magnificas fotografias podem constatar, que se fizerem zoom, encontram formas iguais à couve flor no seu todo. mais e mais pequenas até ao infinito ( teoricamente ) !

603466648c32a64be0ozy2.th.jpg

fractalbroccolina0.th.jpg

Afixem aí outras formas que a natureza tenha feito que tenham interessa matemático.

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Essas couve são altamente :thumbsup: Chamamos-lhe couve Romanesco Romanesco. Em França já se come muito disso, por cá em PT nem por isso.... Mas nem é assim tão mais caro.

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A divisão do nº de sementes num anel plo numero de sementes no anel imediateamente interior a ele aproxima-se de phi à medida que se começam a usar aneis mais exteriores...

na imagem não dá pa ver mt bem..mas

girasol.jpg

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Na imagem anterior (do girassol) está presente a série Fibonnacci no número de espirais que encontramos.

Há girassois que têm 34 espirais num sentido e 55 noutro(girassois pequenos), outros 55 e 89 (médios) e outros 89 e 144 (grandes).

Também encontramos a mesma série em pinhas.

Claro está que esta série está intimamente ligada ao phi como diz o joxnas :thumbsup:

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Bem, já agora deixo aqui um post que fiz para um outro fórum, sobre a Teoria do Caos, que está implicitamente relacionado com fractais.

Teoria do Caos

Creio que todos já devem ter ouvido falar do "efeito borboleta", ou da célebre frase que diz que um bater de asas de uma borboleta aqui, pode provocar um tufão do outro lado do mundo.

Digamos que tudo começou quando Edward Lorentz, em 1961, quando estudava um modelo simples de convecção de um fluído (parte de um estudo sobre previsibilidade do tempo meteorológico), descobriu algo que à primeira vista poderia indicar falta de engenho no Lorentz para conseguir chegar a uma resposta mais satisfatória , que não esta: era impossível prever!

O modelo poder-se-ia resumir ao seguinte sistema não linear de 1ª ordem de valor inicial (quem não perceber, passe à frente desta parte):

dx/dt=sigma(y-x)

dy/dt=rx-y-xz

dz/dt=xy-bz

(x, y e z são variáveis que não possuem significado físico directo; r é proporcional ao gradiente de temperatura aplicado)

Proponho-vos que não tentem resolver à mão, mas se dispuserem de matlab, ou um outro programa semelhante, poderão representar graficamente a dependência entre estas variáveis:

borboleta.jpg

(Com sigma=10, b=8/3 e r=60.)

Foi a partir de uma imagem semelhante a esta, que o Lorentz associou a borboleta, (os físicos são sempre muito imaginativos, já se sabe).

Mas porquê que Lorentz afirmou que este sistema era impossível de prever? Como se pode confirmar facilmente a partir de meios computacionais, uma ínfima alteração nas condições iniciais do sistema, significam uma alteração total nas soluções deste a médio/ longo prazo. Ou seja, para se conseguir ter uma previsão com 100% de certeza, seria necessário uma precisão infinita na medição das grandezas implicadas, algo, que como sabem é impossível, visto que todos os aparelhos de medição têm sempre um erro associado, (para não falar que o Principio da Incerteza o também não permite...).

Daqui surgiu o conceito de caos.

Para não pensarem que por causa deste último argumento, a teoria se torna totalmente inútil:

"Em 19 de fevereiro de 1998, computadores do sistema de previsão de tempestades tropicais dos Estados Unidos diagnosticaram a formação de uma tempestade tropical sobre Louisiana em três dias. Sobre o Oceano Pacífico um meteorologista daquela agência descobriu que havia uma pequena diferença nas medições executadas, e que estas poderiam prever uma pequena diferença no deslocamento das massas de ar. A diferença foi detectada através de uma movimentação do ar em maior velocidade na região do Alasca. Em função das diferenças, houve uma realimentação de dados nos computadores, estes refazendo os cálculos previram que a formação da tempestade tropical em Lousiana não ocorreria, mas haveria sim a formação de um tornado de proporções gigantescas em Orlando, na Flórida, o que realmente ocorreu em 22 de fevereiro de 1998."

Recapitulemos, portanto, de que se trata a Teoria do Caos - esta teoria tenta explicar fenómenos que "naturalmente" classificaríamos de casuais, mas que na verdade podem ser testados, verificados e simulados, apesar de que a sua previsão seja um pouco fortuita por si própria (como o caso descrito em cima). Os casos mais conhecidos da sua aplicação é em fenómenos meteorológicos, como já referido, variações na bolsa, crescimento de populações (tendo um habitat limitado), sismologia - movimento das placas tectónicas, entre outros. Em todos eles o "acaso" é feito de uma multiplicidade de possíveis acontecimentos, estando estes constantemente a mudar e por isso podendo provocar efeitos diversos. (Matematicamente são sistemas não-lineares e dinâmicos).

Talvez de um modo paradoxal, ou lógico, dependendo da perspectiva, estes sistemas caóticos, como o descrito pelas equações de Lorentz, tende para um gráfico fixo, quando vemos em simultâneo as 3 variáveis. A isto se chama um atractor estranho, pois tende para um atractor, mas através de um "caminho" que nunca levaria a prever tal "desfecho".

O que é um atractor?

É exactamente o contrário do que se disse para um sistema caótico, na medida em que independentemente das condições iniciais do sistema, as finais serão sempre as mesmas, podendo portanto prevê-las com 100% de certeza. Pensemos por exemplo num pêndulo: independentemente da altura com que o larguemos, ele tenderá inevitavelmente para a posição de equilíbrio, acabando por parar nela.

Agora já devem estar a perceber porquê que falava eu em paradoxo: apesar de o sistema ter uma previsibilidade (quase) nula "ponto a ponto", ou em gráficos 2D, quando se passa para o gráfico 3D que define as 3 variáveis em simultâneo, o "caso muda de figura"... (Poder-se-ia pensar então que seria errado analisar apenas duas variáveis de cada vez, no entanto, tal não é verdade.)

Algo associado a tudo isto são os famosos fractais (que possivelmente muitos nunca tenham ouvido esta palavra, embora seja quase certo que já os virão e já se maravilharam com eles).

Nos atractores estranhos, no seu detalhe gráfico, pode ser visualizada uma auto-similaridade, ou seja, é um objecto geométrico que sendo dividido em partes, cada uma delas é igual à original, o que não é mais que a definição de fractal.

Os fractais são muito comuns na natureza, como podem comprovar se tiverem em atenção certos padrões em folhas de plantas, flores, certos fungos, etc.

Uma planta: Brócoli Fractal

brocolifractal.jpg

Deixo-vos ainda outros exemplos:

Conjunto de Mandelbrot:

300px-Mandelpart2.jpg

Outros obtidos computacionalmente:

Fractal.jpg

Fractal.png

Aplicações da Teoria

Na Física, conceitos como entropia (medida da desordem de um universo) puderam ser desenvolvidos, tendo também havido progressos em Mecânica Quântica, nomeadamente no Princípio da Incerteza de Heisenberg.

Na Matemática, esta teoria veio revolucionar o estudo estatístico, bem como os fractais vieram trazer uma nova forma intuitiva de olhar para o conceito abstracto do infinito.

Na Astronomia sabe-se que o sistema solar é um sistema caótico: podemos pensar por exemplo na cintura de asteróides entre Marte e Júpiter - porquê que nunca se formou ali um planeta com esses asteróides? A teoria do Caos consegue responder isto, embora talvez não seja oportuno explicar isso aqui. Mas podem imaginar algo mais simples como um planeta que anda em volta de uma estrela, agora coloquem uma outra estrela do outro lado do planeta, de modo a que a distância do planeta a esta estrela, seja sensivelmente a mesma do raio da órbita inicial. O que acontecerá é que o planeta começará a descrever oitos em torno das duas estrelas...

Na Biologia tem-se usado esta teoria para fazer previsões em relação à evolução genética que se verificará na Terra. (Muito provavelmente já viram na televisão programas sobre espécies futuras que habitarão a Terra, pois bem, estas previsões fazem-se com base em Teoria do Caos.)

Na Sismologia, embora a teoria do Caos, como já referido, não ofereça a possibilidade da previsão de sismos, devido a pouca precisão nos instrumentos que dispomos, tem permitido a cartografia de falhas sísmicas, através do estudo da distribuição caótica da localização e intensidade dos sismos.

Na Medicina, com base nesta teoria descobriu-se à pouco tempo que o bater do coração é também um fractal, em que se houver uma pequena fuga ao fractal - deixar de ser perfeitamente periódico, tal deve significar que o paciente deva estar com insuficiência cardíaca.

Em Ciências Humanas e Ciências Políticas tem-se usado a teoria para tentar prever o comportamento de multidões.

Na Economia, como já dito anteriormente, a Teoria do Caos permite estudar o desenvolvimento na bolsa: enquanto que a longo prazo as taxas possam parecer que evoluam de um modo totalmente aleatório, tal não é verdade; por outro lado, analisando detalhadamente a curto prazo, é possível vislumbrar indícios de fractais na evolução da bolsa. (Em 1997, dois americanos receberam o Prémio Nobel da Economia por terem conseguido desenvolver uma fórmula que permite prever aplicações financeiras, com base, claro está, na Teoria do Caos.)

Na Linguística, a evolução dos dialectos tem sido estudada com base na Teoria do Caos.

Na Arte, as influências estéticas são ainda difíceis de determinar, tal é a ruptura com os padrões clássicos que estas descobertas potenciam. A geometria fractal revolucionou o realismo visual, sendo usada na criação de imagens espectaculares e de mundos bizarros para jogos, animações e filmes, com detalhe variável de acordo com a escala, evitando a pixelização. E é impossível determinar os avanços que os meios computacionais cada vez mais potentes auguram. Este realismo sem precedentes inspira artistas de todas as áreas, introduzindo novos símbolos que acompanham as novas mentalidades.

Esta última parte teve como bibliografia: http://www.ajc.pt/cienciaj/n23/avulso6.php

Bem, espero que tenham ficado com algumas ideias novas e quiçá com a curiosidade um pouco aguçada para pesquisarem sobre o tema, ou se preferirem questionar-me.

Tive o cuidado de não entrar muito em pormenores tanto matemáticos, como físicos, mas se alguém pretender mais alguns, peça, que eu responderei se souber :).

kelker

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Na Física, conceitos como entropia (medida da desordem de um universo) puderam ser desenvolvidos, tendo também havido progressos em Mecânica Quântica, nomeadamente no Princípio da Incerteza de Heisenberg.

A definição de entropia vem desde há MUITO atrás, bem antes de Lorentz (um século antes). E o próprio Heisenberg viveu 30 anos antes do Lorentz. Além disso, o principio da incerteza tem que ver com a impossibilidade de definires exactamente a posição E a velocidade de um electrão.

Podias explicar melhor isso? É que fiquei curioso :D

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A definição de entropia vem desde há MUITO atrás, bem antes de Lorentz (um século antes). E o próprio Heisenberg viveu 30 anos antes do Lorentz. Além disso, o principio da incerteza tem que ver com a impossibilidade de definires exactamente a posição E a velocidade de um electrão.

Podias explicar melhor isso? É que fiquei curioso :D

Ou qualquer outra partícula

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Bem, está um pouco repetitivo mas aqui vai mais um fractal:

Um feto tambem é um fractal!

tree2520fernjh5.jpg

Aqui vai uma pequena aplicação em flash que permite brincar com este tipo de fractal variando vários parametros.

http://www.krazydad.com/bestiary/bestiary_fern.html

Quando estiver aborrecido ainda hei-de fazer o meu proprio render de um fractal destes.

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A definição de entropia vem desde há MUITO atrás, bem antes de Lorentz (um século antes). E o próprio Heisenberg viveu 30 anos antes do Lorentz. Além disso, o principio da incerteza tem que ver com a impossibilidade de definires exactamente a posição E a velocidade de um electrão.

Podias explicar melhor isso? É que fiquei curioso :P

A teoria do Caos é claro que não veio reformular essas teorias - a entropia é um conceito bem definido e a Incerteza é uma propriedade do mundo quântico já muito bem conhecida, confirmada e definida.

A teoria do Caos traz luz é sobre sistemas de muitas partículas - o Princípio da Incerteza, por exemplo, é muito "bonito" de ser aplicado a um sistema de algumas partículas, mas quando não são apenas "algumas", quando há efeitos não lineares entre eles, etc., então a coisa complica-se - nesta situação entra a Teoria do Caos ao "barulho"...

Ou seja, na verdade a Teoria do Caos não trouxe propriamente física nova, mas sim uma forma de resolver situações mais complexas - a utilidade para questões reais é evidente.

Edit: lamento a demora na resposta, mas não costumo passar por cá muitas vezes.

Suponho que a resposta talvez não te satisfaça muito, mas também não sei muito mais sobre o assunto - tentei discutir isto com um professor meu de física quântica, mas ele também me quis despachar...

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Boas a todos,

Apesar de nao ser grande entendido nestas coisas, acho esta materia muito interessante...

Aqui vai mais uma:

snail.jpg

e mais uma...

Il%20ciclone%20Stura.jpg

...e outra:

merkel_pipeline3.jpg

fiquem bem  :D

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