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Tharis

Tutoriais e Esclarecimentos

57 mensagens neste tópico

Criei este tópico, pois, muitas vezes, tenho curiosidade sobre certas fórmulas e outros afins.

Por exemplo:

-> Porque é a fórmula da área do quadrado ? (Ok, este é fácil.) :D

-> Porque é a Fórmula Resolvente capaz de resolver equações do tipo ax² + bx + c = 0?;

-> Porque é P da Circunferência: 2Πr? Ou a sua área: Πr²?

-> Porque é V da Esfera: 4/3*Πr³?

Se calhar sabes... ou não!

Por isso criei este tópico, para eu e outros (quem quiser) dar a sua contribuição.

Para começar, começo eu a explicar como é que a Fórmula Resolvente foi criada.

Fórmula Resolvente

Temos que:

                ax² + bx + c = 0 <=> // Temos aqui a nossa forma canónica.

<=> 4a(ax² + bx + c) = 4a*0 <=> // Multiplica-se ambos os membros por 4a.

<=> 4a²x² + 4abx + 4ac = 0 <=> // Aqui já estão os valores depois de multiplicados por 4a.

<=> (2ax)² + 2(2ax)b = -4ac <=> // Simplificou-se: 4a²x² = (2ax)² e 4abx = 2(2ax)b.

<=> (2ax)² + 2(2ax)b + = -4ac + <=> // Aqui adiciona-se a cada membro .

<=> (2ax + :(² = -4ac + b² <=>  // Aqui é que está o resultado daquele trabalho todo! Mas... pera aí. Isto é o Quadrado do Binómio! Ou seja, o trabalhão era o resultado                                                                    dum Quadrado do Binómio. (2ax + :(² = (2ax)² + 2(2ax)b + b².

                                    ___________

<=> 2ax + b = +- \/-4ac + b² <=> // Se primeiro membro ao quadrado é igual ao segundo membro, o primeiro membro é igual à raiz quadrada do segundo membro. (2ax +                                                              B)² = -4ac + b² <=> 2ax + b = +- sqrt(-4ac+b²)

                                  ___________

<=> 2ax = -b +- \/-4ac + b² <=> // É fácil perceber o que mudou. O b do 1º membro passou para o 2º membro. Logo, tem que se alterar para o seu simétrico.

                                ___________

                    -b +- \/ b² - 4ac

<=> x = ------------------------------ // O 2a está no 1º membro a multiplicar, passa para o 2º membro a dividir. O seu inverso.

                                2a

E,

0884dd6b0ffc323bd93e120364a05f37.png

Nota: Esta Fórmula é a Fórmula de Bhaskara. Bhaskara foi um matemático indiano. Mais info dele, GOOGLE IS YOUR FRIEND!

Espero que tenham percebido. Se não, não hesitem em perguntar.

Cumps

Tharis

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Muito bom, não fazia a mínima ideia que a formula resolvente tinha sido inventada por um matemático indiano, continua. :(

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O perímetro da circunferência é 2*pi*r por definição, ou seja, pi é o número que se define como a relação entre o perímetro de uma circunferência e o seu diâmetro. Em relação à área da circunferência só precisas de saber integrar em R... a linha que define uma semi-circunferência de raio r e centro em 0 pode ser escrita como uma função real de variável real, e domínio [0,pi]: f(x) = raíz(r^2 - x^2). Basta agora saber o que é o integral de Riemann, e a área de tal semi-circunferência é dada pelo integral de -r a r de f(x). Este integral dá (1/2)*pi*r^2 donde se conclui que a área da circunferência é a conhecida. Já para calcular o volume da esfera a técnica é a mesma mas tudo se processa em cálculo integral vectorial. Basta fazer um integral triplo da função identicamente igual a 1.... hmm... google it ou alguém que possa explique melhor que eu

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Muito bom, não fazia a mínima ideia que a formula resolvente tinha sido inventada por um matemático indiano, continua. :(

Muito Obrigado pelo apoio! Semana a semana vou vendo o que posso pôr aqui, visto que preciso de pesquisar para pôr alguma coisa razoavelmente "atractiva".

@pedrosorio, não entendi bem a tua forma de postar, mas vou-te dizer:

-> Já vi que percebes de Matemática;

-> Gostei muito do teu tut de TI-Basic (que estou a usar);

e então, acho que esse tipo de post que metes tudo ao molho, que não te favorece, porque até podes estar com boas intenções e com um bom conteúdo, só que não é atractivo. Pelo menos parágrafos, sff...

-> Não fiz as perguntas no início para responderes assim, mas:

   

    - Convido-te a fazer um Esclarecimento/Tutorial como eu fiz para a Fórmula Resolvente, para a área do círculo. Até porque para o fazer, teria de pesquisar.

    - Caso aceites o meu convite, convidava-te a tentares usar linguagem matemática que mais ou menos toda a gente saiba.

Cumps

Tharis

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Off-topic: estás a usar o meu tut? Fixe  :( Fi-lo para aí quando tinha mais um ano que tu (estás no 10º certo?) Se quiseres posso tentar ver se reúno uma ou duas cenas mais avançadas para meter no tut depois. (Ah, já agora, o estilo é capaz de estar um bcdinh básico se já percebes de programação mas é para qq pessoa poder usar...)

Em relação ao post, tens razão, é confuso... mas receio que estar aqui a dar uma explicação detalhada de integrais em R e de integrais em Rn... Hmm peço desculpa mas é muita coisa mesmo  :( Para além disso não sou nenhum expert... Mas estou no IST e se não souber isto... Well...  :bye2:

De qualquer forma, desculpa estar a estragar o teu tópico (realmente a explicação da fórmula resolvente está muito clara), pode ser que até haja uma explicação mais simples e rigorosa para a área do círculo, (hmm... a quadratura do círculo... Vou pesquisar um bocadinho e talvez post qq coisa). Já agora, não me peças para demonstrar o teorema dos resíduos (Análise complexa  :wallbash: -> teste amanhã)

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Muito bom, não fazia a mínima ideia que a formula resolvente tinha sido inventada por um matemático indiano, continua. :(

A fórmula resolvente não foi inventada por um matemático indiano. A fórmula resolvente só é conhecida como fórmula de Bhaskara no Brasil e é um erro enorme atribuir-lhe a fórmula. A fórmula resolvente é muito mais antiga que Bhaskara, aliás, a solução da equação quadrática é um problema que tem solução desde os babilónios 2000 a.C.

Edit:

E a verdade é que fórmula fórmula só apareceu no século XVI com François Viète que iniciou a notação com letras.

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@pedrosorio,

Sim, estou a usar e acho que está muito bem explicado (demais até :( ). Então quando arranjares alguma coisa que aches boa para pôr aqui, faz favor. B)

Muito bom, não fazia a mínima ideia que a formula resolvente tinha sido inventada por um matemático indiano, continua. :(

A fórmula resolvente não foi inventada por um matemático indiano. A fórmula resolvente só é conhecida como fórmula de Bhaskara no Brasil e é um erro enorme atribuir-lhe a fórmula. A fórmula resolvente é muito mais antiga que Bhaskara, aliás, a solução da equação quadrática é um problema que tem solução desde os babilónios 2000 a.C.

Edit:

E a verdade é que fórmula fórmula só apareceu no século XVI com François Viète que iniciou a notação com letras.

Correcção:

A Fórmula Resolvente como a conheces hoje foi criada por Bhaskara.

Para resolver equações com radicais diferentes, já os Babilónios, Persas e outros tinham encontrado formas de as resolver, só que ambas eram limitadas, por exemplo uma era limitada a soluções positivas.

É verdade que Bhaskara não usou as letras na sua equação, porque estas apenas começaram a ser usadas 5 séculos mais tarde, mas foi Bhaskara que criou a Fórmula Resolvente Geral.

(Se calhar posso estar um pouco enganado, mas depois quando tiver em casa, digo-vos.)

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A fórmulas para o cálculo da área do circulo e do 'comprimento' de uma circunferencia não são deduziveis porque recorrem ao vaor de pi que foi obtido experimentalmente através de medições.

De resto o número pi já tem biliões de algarismos e nunca foi encontrada periocidade, daí o problema da quadratura do círculo não ter solução.

Este tipo de coisas encontra-se num livro de calculo.

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Sim, é verdade que as soluções das civilizações mais antigas eram limitadas, realmente errei quando disse que as fórmula resolvente era conhecida nessa altura, claro que o que quis dizer é que a maneira de resolver esses problemas era conhecida nessa altura.

Mas a verdade, é que a fórmula resolvente não nos é apresentada por Bhaskara (e joga aqui o conceito que temos de fórmula), o que Bhaskara fez foi dar, pela primeira vez, duas soluções para o problema da equação quadrática.

Para mim (realço o para mim), uma fórmula é uma expressão matemática que permite resolver um determinado tipo de problema e portanto terá que ser uma espécie de algorítmo e não um problema concreto.

A fórmula mesmo, só foi apresentada depois de Viète que introduziu as letras na Matemática e permitiu o aparecimento de fórmulas(como eu as concebo), e... e agora não tenho já muitas certezas, mas penso que foi Descartes em La Géométrie, quem apresenta a Fórmula Resolvente tal como a conhecemos hoje.

Atenção, não estou a tirar mérito a Bhaskara II, o homem trabalhou bem!

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A fórmulas para o cálculo da área do circulo e do 'comprimento' de uma circunferencia não são deduziveis porque recorrem ao vaor de pi que foi obtido experimentalmente através de medições.

De resto o número pi já tem biliões de algarismos e nunca foi encontrada periocidade, daí o problema da quadratura do círculo não ter solução.

Este tipo de coisas encontra-se num livro de calculo.

Hmm "já tem biliões de algarismos". O número de pi não é representável por um número finito de algarismos como todos sabemos. E em relação ao facto de a área do círculo não poder ser deduzível não sei o que isso significa. A partir da fórmula do perímetro (o número pi é definido como a relação entre o perímetro e o diâmetro de uma circunferência) podemos SIM deduzir a fórmula da área de um círculo ou do volume de uma esfera.

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A fórmulas para o cálculo da área do circulo e do 'comprimento' de uma circunferencia não são deduziveis porque recorrem ao vaor de pi que foi obtido experimentalmente através de medições.

De resto o número pi já tem biliões de algarismos e nunca foi encontrada periocidade, daí o problema da quadratura do círculo não ter solução.

Este tipo de coisas encontra-se num livro de calculo.

Hmm "já tem biliões de algarismos". O número de pi não é representável por um número finito de algarismos como todos sabemos. E em relação ao facto de a área do círculo não poder ser deduzível não sei o que isso significa. A partir da fórmula do perímetro (o número pi é definido como a relação entre o perímetro e o diâmetro de uma circunferência) podemos SIM deduzir a fórmula da área de um círculo ou do volume de uma esfera.

O que ele disse foi que já temos o valor do pi com a precisão de biliões de casas decimais, não está a dizer que o pi é variável.
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Ok... corrijo: "já são conhecidos biliões de algarismos"

Não quero estar aqui neste tópico a discutir a historia do ovo e da galinha. Se desenhares um quadro com uma circunferencia tangente nos quatro pontos medios de cada segmento e dividires a área do quadrado pela do circulo chegas a pi.

Quer neste caso quer no caso do comprimento da circunferencia os valores têm que ser obtidos através de medições. O conceito de pi entra nos dois casos rigorasamente da mesma forma.

através da medição de duas grandezas, uma facilmente calculável a partir de um valor conhecido e por isso mensuravel e outra desconhecida, que leva ao numero pi.

Para deduzires a área por integração tens que usar o conceito de pi ou seja...  o teu ponto de partida continua supostamente por provar.

O que significa o que eu disse... significa isto:

não há uma forma conhecida de deduzir matemáticamente a área de um circulo ou o comprimento de uma circunferencia sabendo o raio. Em ambos os casos recorre-se ao número pi.

A partir daí os dois conceitos podem ser relacionados, mas nada mais. Pode chegar-se à conclusão do valor de um A PARTIR DO VALOR de outro mas o problema do pi está presente nos dois casos.

alguem é capaz de desenhar um segmento de reta de comprimento pi? eu não sou. Raízes ainda consigo... pi não conheço nenhum método. Nem eu nem ninguem ;)

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alguem é capaz de desenhar um segmento de reta de comprimento pi? eu não sou. Raízes ainda consigo... pi não conheço nenhum método. Nem eu nem ninguem :P

Eu sou ;)

Só preciso de um anel de raio 1 e banha-lo em tinta e faze-lo rolar metade numa folha :P

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@pedrotuga,

o que eu perguntei em relação à área do círculo é que: porque é que pi*r² é igual à área do círculo? Não estou a dizer se pi = 3,1415 etc. Porque se r=2, a área é 4pi. A irracionalidade de pi não está em questão. Eu quero é saber porque pi*r² e não pi*r³.

@mcomatic,

mesmo que Bhaskara não tenha usado as letras para a fórmula, não deixa de ser uma fórmula. Agora se só passados 5 séculos tens a fórmula com letras, isso é outra coisa.

@djthyrax,

tinhas que postar algo! :P;)

@pedrotuga (de novo, sim),

porque é o P da Circunferência = 2*r*pi ? Porque pi é o perímetro de uma circunferência com 1 de diâmetro. Logo, se esse duplica, é claro que vai ser 2pi. Eu quero saber porque acontece pi*r² na área. Ninguém disse que pi não é achado por medições. (porque até acho que Arquimedes conseguiu aproximar pi sem medição. Depois vejo isso)

@Betovsky,

só mesmo tu! :P

Boa resposta! Mas isso só é possível teoricamente, até porque se nós desenharmos uma circunferência, não desenhamos uma circunferência, pois a circunferência é uma linha e se tu desenhares no papel a circunferência, ela não é uma linha, mas uma área, mesmo que tenha uma largura de 1 pm.

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É possível construir um segmento de recta de comprimento pi, como acontece para as raízes ou para phi, por exemplo... O que não é possível, e isso deve-se à transcendência de pi, é construir um quadrado com a mesma área de um círculo, usando só compasso e esquadro.

Já agora, a forma de construir um segmento de recta de comprimento pi que o Betovsky indicou é bastante conhecida. Uma animação que permite ver isso: http://en.wikipedia.org/wiki/Image:Pi-unrolled-720.gif

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ya... eu confundi-me.

É perfeitamente possivel.  ;) O que não é possivel é ir no sentido contrário.

tharis. Acho que não percebeste a natureza dessas formulas... porque é que a área de um círculo é pir²?

simples.

Porque se experimentou.

Um circulo foi desenhado juntamente com um quadrado tangente nos seus quatro lados. Depois de se efectuarem medições chegou-se à conclusão que a área do círculo era aproximadamente 3.14... vezes menor que a do quadrado.

Pronto é por isso. Não é preciso nenhum raciocinio complicado. Não é por razão nenhuma, é simplesmente uma constatação.

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Wow, isso é extraordinário... Quando eu encontrar esse círculo que dentro de um quadrado com os lados tangentes consegue ter menos de 1/3 da área do mesmo desisto da matemática... A relação entre as áreas é evidentemente pi/4.

Mas, presumo então que para determinar o volume da esfera se pegou numa esfera e num cubo, "fizeram-se medições" e chegaram à conclusão de que o volume da esfera era 4/3*pi*r^3, ou seja, a esfera esculpida do cubo tinha um volume que era pi/6 do volume original do cubo... Provavelmente até os meteram dentro de água para comparar o volume deslocado e tal...

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Bom... o valor de pi veio da experimentação e nisso penso que todos concordamos, pi=perímetro/diâmetro. Por isso penso que daí vem a fórmula do perímetro da circunferência.

A área, foi Arquimedes que demonstrou. Segundo ele, a área do círculo de raio® é igual à área de um triângulo rectângulo de catetos r e o perímetro da circunferência(l). Assim ficamos com

A_circ=A_tri<=> A_circ=l*r/2=(2*pi*r)*r/2=pi*r^2

Também foi Arquimedes que no livro Sobre o Círculo e a Esfera demonstrou as fórmulas da área da superfície da esfera (4*Círculo Máximo) e o volume da esfera (4* Área do cone que tem como base o círculo máximo e altura o raio da esfera)

Também relacionou as áreas do cilindro(lateral) e da esfera quando ambos têm o mesmo raio, assim como os seus volumes.

Área_Cilindro=1.5*Área_Esfera

Vol_Cilindro=1.5*Vol_Esfera

Claro, parece-me evidente que há aqui muita experimentação...

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"Claro, parece-me evidente que há aqui muita experimentação..."  ;)

Dedução != experimentação

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"Claro, parece-me evidente que há aqui muita experimentação..."  ;)

Dedução != experimentação

Quando me referi a experimentação, estava a falar das experiências que Arquimedes deve ter feito para chegar a tais resultados. Não me parece que tenha chegado às deduções sem ter experimentado muito antes... se bem conheço o Arquimedes :P :P :D

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;) Nunca cheguei a uma demonstração sem ter experimentado antes  :-[
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:P Nunca cheguei a uma demonstração sem ter experimentado antes  :-[

:P então cá vai um resultado para provar por experimentação:

Há infinitos números primos.

;)

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Nah... Já provei  ;)

:) Mas não os experimentaste todos, verdade? :P :P :D

Outro ainda mais interessante de provar por experimentação é

mostrar que de uma esfera se podem fazer duas de igual tamanho! :)

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