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pedrotuga

O problema da flor 2 ( geometria )

10 mensagens neste tópico

Aqui vai outro problema parecido com o outro que afixei a semana passada.

A imagem não está rigorosa, mas façam de conta que está.

flor3iv6.png

Os circulos têm todos o mesmo raio, calcular a área assinalada a verde na figura.

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diz-me uma coisa, quantos arcos desses verdes cabem em cada circulo se eu continuasse a desenhar uns ao lado dos outros?, ao todo, uns 6 não?

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De onde vem o raíz de 5?

Já agora explico como fiz, temos três círculos a intersectar o círculo do meio, e os pontos da área verde que intersectam o círculo do meio estão nos ângulos 0º, 120º e 240º.

Considerando, por exemplo, o círculo em baixo à direita, a área verde que está orientada horizontalmente tem pontos extremos (os azuis carregados) nos ângulos 60º e 120º. Se fizermos passar um segmento de recta entre esses dois pontos vemos que ele corta a área verde ao meio.

Para calcular a área da metade superior basta fazer a área da secção do círculo que corresponde a 60º ou seja pi*r2/6 menos a área do triângulo formado pelos raios do círculo e pelo segmento de recta anteriormente definido. Esse triângulo tem de base 2*cos(60)*r e de altura sin(60)*r, cos(60)=1/2, sin(60)=raíz(3)/2, logo a área do triângulo é igual a raíz(3)/4*r2.

Então a área da metade superior será (pi/6 - raíz(3)/4) * r2. Como existem seis metades de área verde então a área total será (pi - 3*raíz(3)/2) * r2.

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m, eu fiz assim:

imaginei que num dos circulos das extremidades, se eu continuasse a por arcos verdes iguais de lado cabiam 6. tracei 6 triangulos de lado r, e a area do circulo subtrai esses 6 triangulos. a area restante corresponde a verde. deu-me aquilo

pedro tuga, o que +e que dá?

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O teu processo é igualmente interessante e correcto, no entanto penso que te enganaste a calcular a área dos triângulos...

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Este problema veio directo da minha cabeça para aqui para o pessoal se divertir.

Só resolvi isto de cabeça. Mas já agora fica a minha solução.

Cortando cada uma das três àreas verdes a meio da forma que o pedrosorio descreveu e arrastando-as de forma a que as suas faces curvas coincidam com a circunferencia e que não se sobreponham, counclui-se:

A área a verde é igual à área do circulo menos a área de um hexagono regular nele inscrito.

Então basta calcular as áreas do circulo e do hexagono e temos a solução.

Acabei de fazer as contas e dá exactamente o mesmo resultado a que voces ja chegaram

r²(pi - (3/2)*3^(1/2))

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