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easa

Dúvida sobre módulos

18 mensagens neste tópico

Boa noite. Desde já vos felicito pelo vosso óptimo site que me tem ensinado tanto em tão pouco tempo. :)

Espero também poder tirar aqui a minha dúvida ;)

O enunciado é o seguinte: Resolva as seguintes equações/inequações.

Esta é a inequação que tenho dúvidas (não sei sequer como começar!)

|x + 1| + |x + 3| > 2

Deverei fazer com um quadro de sinais?

Se alguem me puder ajudar, agradecia.

Cumps.

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|x+1| + |x+3|>2

=> |x+1| > 2 - |x+3|

=> (x+1 > 0 e x+1 > 2 - |x+3|) ou (x+1 <= 0 e -x-1 > 2 - |x+3|)

=> (x > -1 e x > 1 - |x+3|) ou (x <= -1 e x < -3 + |x+3|)

=> (x + 3 > 0 e x > -1 e x > 1-x-3) ou (x+3 <= 0 e x > -1 e x > 1+x+3) ou (x <= -1 e x+3 > 0 e x < -3+x+3) ou (x <= -1 e x+3 <= 0 e x < -3-x-3)

=> (x > -3 e x > -1 e x > -1) ou (x <= -3 e x > -1 e 0 > 4) ou (x <= -1 e x > -3 e x < x) ou (x <= -1 e x <= 3 e 2x < -6)

=> (x > -1) ou FALSO ou FALSO ou (x < -3)

=> (x > -1) ou (x < -3)

se não me enganei nas contas, deve ser isto (provavelmente existe um método mais simples para resolver o problema ;)).

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Eu encontrei uma maneira um pouco mais simples de resolver, separando a inequação em bocados. Não sei se está totalmente certa, mas penso que sim.

Já sabemos que a inequação é verdadeira se

|x+1| > 2 ou |x+3| > 2

então é verdadeira se

x+1 > 2 ou x+1 < -2

ou

x+3 > 2 ou x+3 < -2

=>

x > 1 ou x < -3

ou

x > -1 ou x < -5

=>x < -3 ou x > -1

Agora vamos ver no intervalo [-3,-1] o que é que se passa... Como ambos os módulos são "negativos" neste intervalo só precisamos de ver que

-x -1 -x -3 < -2

-2x -4 < -2

-2x < 2

x > -1

Juntando tudo...

x < -3 ou x > -1 ou x > -1

=> x > -1 ou x < -3

EDIT: este segundo bloco está incorrecto, correcção aqui

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    Obrigada pelas duas respostas! :) Bem eu acabei agora o secundário e não tenho muito a noção de como desenvolver estes monstrinhos. O Rui Carlos foi pelo hard way :eek: Eu pensei nisso, fazer todas as condições e tal,  mas como sou preguiçoso pus-me a pensar noutras formas de o resolver  :cheesygrin:

    A resposta do Saco é muitoo clever.. Muito mesmo ;) Gostei. Não cheguei sequer a pensar em separar a inequação.

    Como não sei como são os professores na Universidade (parece que vou ficar a saber como são agora em meados de Outubro) eu resolvi da seguinte forma, mas quase de certeza que num teste ou exame não aceitariam. Em todo o caso deu-me o mesmo resultado que a vocês os dois, por isso penso que seja a resposta correcta :D

    Aqui vai..

semttulovw8.jpg

    Será que aceitavam esta resolução? =/

    P.S.1 - É claro que em cálculos auxiliares calculei os zeros de ambos os membros da inequação mas não pus aqui porque achei que não seria necesário.

    P.S.2 - Também tive de desenvolver as condições de cada membro, acho que acabo por fazer o que fez o Rui Carlos mas prontos. =/

    P.S.3 - Alguma crítica podem fazer ;) Tal como na utilização do P.V. e do P.F. ou mesmo se será possível usar uma tabela de sinais a resolver uma inequação.

Cumps. e Obrigada! :)

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Na faculdade (pelo menos na minha - IST) aceitam qualquer resolução desde que esteja correcta, a menos que se diga explicitamente resolva utilizando o método xpto.

Essa resolução penso que está correcta, mas normalmente não teria a cotação toda, pois faltam os cálculos auxiliares, e ainda dá mais trabalho do que a do Rui Carlos ;)

Mais uma vez falando do meu curso, quando tens exercícios mais complicados como este o que há a fazer é encontrar a maneira mais fácil de resolver para evitar enganos já que não é permitido usar calculadora para conferir os resultados (com uma calculadora gráfica rapidamente se encontrava a solução deste problema).

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Pois. Faltam-me Os perus menores  ;) Ups Pormenores ;)

Obrigada pela dica. Vou ver mais exercícios com módulos e tentar fazer sem quadros complicados.

By the way estás em que curso e em que ano no IST? :) Estive para ir para aí, e até faz parte das minhas opções na ficha de candidatura mas entro de certeza na 1ª opção.. Aveiro @ Eng. de Computadores e telemática

Cumps.

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Redes de Comunicação e vou agora para o 5º Ano. Foi a minha primeira e única opção ;)

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1 -> |x + 1| + |x + 3| <=> |x + 1 + x + 3|, não? ... |2x + 4|

EDIT: humm, wait... not quite.... Mas esta parte dá para simplificar, e a partir daí siga marinha.....

2 -> |2x + 4| > 2 <=> 2x + 4 > 2  U 2x + 4 < -2, right? maior que 2 e menor que -2....

3 -> x > (2 - 4) / 2 U x < (-2 -4) / 2 <=> x > -1 U x < -3

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1 -> |x + 1| + |x + 3| <=> |x + 1 + x + 3|, não? ... |2x + 4|

não!

neste caso vai dar ao mesmo, mas se em vez de >2 tivéssemos >1, por exemplo, já não chegavas ao resultado correcto.

para x=-2

|-2+1|+|-2+3|=2

|2(-2)+4|=0

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|x+1| > 2 ou |x+3| > 2

Hmmm, saco acho que não podes fazer essa aproximação ... repara se a soma de dois módulos for superior a 2 não quer dizer obrigatóriamente que cada um dos módulos sejam superiores a 2, podem ser ambos 1,5 p. ex.

a maneira mais facil penso eu é fazer por partes 1o separar apenas um dos múdlos e depois o seguinte...

1o

<=> |x+1| + |x+3| > 2

<=> x + 1  >  2  - |x + 3|        ou      x + 1 < -  2 + |  x + 3 |

<=> |x + 3| >  -  x  +  1          ou      |  x + 3 | >  x + 3 

e depois separar o outro módulo   

<=>  x + 3 >  -  x  +  1    ou  x + 3 <    x  -  1      ou      x + 3  >  x + 3      ou    x + 3  <  -  x  -  3

depois é so resolver até ao fim, se bem que o rui carlos resolveu isso de forma inteligente ...

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ele disse que a inequação era verdadeira nesse caso, não disse que apenas era verdadeira nesse caso (só se esqueceu de dizer por que é que isso acontece ;)).

acabei também por reparar que tens um pequeno erro, Saco ;)

Agora vamos ver no intervalo [-3,-1] o que é que se passa... Como ambos os módulos são "negativos" neste intervalo só precisamos de ver que

-x -1 -x -3 < -2

-2x -4 < -2

-2x < 2

x > -1

Juntando tudo...

x < -3 ou x > -1 ou x > -1

apesar de só teres escrito

-x -1 -x -3 < -2

estavas a trabalhar no domínio [-3,-1]

ou seja, o que realmente tinhas era

-x -1 -x -3 < -2 e -3 <= x <= -1

logo, no final ficavas com

x > -1 e -3 <= x <= -1 <=> FALSO

o que resultava em

x < -3 ou x > -1 ou FALSO

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olhando melhor para isso, esse segundo bloco está errado...

não percebi muito bem como é que chegaste à inequação "-x -1 -x -3 < -2", Saco.

em [-3,-1]

|x+1|+|x+3| > 2 <=> -x-1 + x+3 > 2 <=> 2>2 <=> FALSO

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Hmmm, saco acho que não podes fazer essa aproximação ... repara se a soma de dois módulos for superior a 2 não quer dizer obrigatóriamente que cada um dos módulos sejam superiores a 2, podem ser ambos 1,5 p. ex.

Como o Rui Carlos já explicou, não foi isso que eu disse, o que eu disse foi que desde que um dos módulos seja maior que 2 então a inequação é satisfeita. Nos restantes intervalos pode ser satisfeita ou não e foi por isso que apliquei o segundo passo.

olhando melhor para isso, esse segundo bloco está errado...

não percebi muito bem como é que chegaste à inequação "-x -1 -x -3 < -2", Saco.

em [-3,-1]

|x+1|+|x+3| > 2 <=> -x-1 + x+3 > 2 <=> 2>2 <=> FALSO

A situação que descreves não acontece porque ambos os módulos "vão a descer" no intervalo [-3,-1] então podemos considerar que a inequação neste intervalo é equivalente a "-x -1 -x -3 < -2" (ou "+x +1 +x +3 > 2").

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Bem a solução que chegámos está correcta, isso tenho a certeza.

1 -> |x + 1| + |x + 3| <=> |x + 1 + x + 3|, não? ... |2x + 4|

É claro que não podes somar dois modulos nDray isso é na multiplicação. Por exemplo:

|x| / |x+1| = | x/(x+1) |

Eu resolvia sempre isso com um quadro de sinais...

Fazias como eu fiz? ;)

Este exercício encontra-se numa espécie de sebenta de Análise Matemática I de 2003/2004, elaborada pelo professor Vítor Neves da Universidade de Aveiro. Se alguém quiser eu disponibilizo-a aqui.

Ah! E obrigada pela caça aos pormenores nas resoluções do exercício. Para mim é bastante importante o rigor na matemática ( por isso é que perguntei se o meu método lá atrás dava em alguma coisa se fosse num exame  :-[)

Cumps.

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olhando melhor para isso, esse segundo bloco está errado...

não percebi muito bem como é que chegaste à inequação "-x -1 -x -3 < -2", Saco.

em [-3,-1]

|x+1|+|x+3| > 2 <=> -x-1 + x+3 > 2 <=> 2>2 <=> FALSO

A situação que descreves não acontece porque ambos os módulos "vão a descer" no intervalo [-3,-1] então podemos considerar que a inequação neste intervalo é equivalente a "-x -1 -x -3 < -2" (ou "+x +1 +x +3 > 2").

ambos vão a descer?

no intervalo [-3,-1], |x+1| é decrescente e |x+3| é crescente (até porque a soma é sempre 2, logo um tem que descer e outro subir).

se expandires os módulos (como eu fiz anteriormente), verás que os valores estão errados.

ou então desenha o gráfico de |x+1|+|x+3| e de x+1+x+3 e vais ver que eles não são iguais no intervalo [-3,-1].

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Ya, é escusado ver porque nunca dá para simplificar....

As funções módulo normalmente têm de ser representadas por ramos, e as funções por ramos não se somam de forma directa....

No fundo o que o quadro faz é analisar ramo-a-ramo, mas uma mente em bom estado pode saltar a representação gráfica.... xD

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olhando melhor para isso, esse segundo bloco está errado...

não percebi muito bem como é que chegaste à inequação "-x -1 -x -3 < -2", Saco.

em [-3,-1]

|x+1|+|x+3| > 2 <=> -x-1 + x+3 > 2 <=> 2>2 <=> FALSO

A situação que descreves não acontece porque ambos os módulos "vão a descer" no intervalo [-3,-1] então podemos considerar que a inequação neste intervalo é equivalente a "-x -1 -x -3 < -2" (ou "+x +1 +x +3 > 2").

ambos vão a descer?

no intervalo [-3,-1], |x+1| é decrescente e |x+3| é crescente (até porque a soma é sempre 2, logo um tem que descer e outro subir).

se expandires os módulos (como eu fiz anteriormente), verás que os valores estão errados.

ou então desenha o gráfico de |x+1|+|x+3| e de x+1+x+3 e vais ver que eles não são iguais no intervalo [-3,-1].

Ups, pois é, coisas feitas de cabeça e à pressa é o que dá...

A inequação resultante é a que disseste, assim sendo, na minha resolução basta alterar o segundo bloco para

-x -1 +x + 3 > 2

2 > 2

Juntando tudo...

x < -3 ou x > -1 ou 2 > 2

=> x > -1 ou x < -3

RuiCarlos: Assim já está correcto, não é?

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